[Risolto] scomposizioni polinomio

Aiuto principale: scrivi su tastiera. La foto s'è mangiato la 'x', non le sai fare!
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Aiuto di algebra
Nel polinomio
* p(x) = x^7 + 2*x^5 - 3*x^4 - 6*x^2
ogni monomio ha la lettera 'x', e solo essa, con esponenti da due a sette; perciò la prima scomposizione consiste nel porre x^2 in evidenza cioè isolare lo zero doppio "x = 0"
* p(x) = (x^5 + 2*x^3 - 3*x^2 - 6)*x^2
così resta da scomporre il polinomio monico quoto
* q(x) = x^5 + 2*x^3 - 3*x^2 - 6 = ((x^2 + 2)*x - 3)*x^2 - 6
che, se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i divisori del termine noto
* {- 6, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 6}
Valutando q(x) nella seconda forma (tre sole moltiplicazioni invece di nove) sogli otto divisori si hanno le seguenti coppie {x, q(x)}
* {- 6, - 8322}, {- 3, - 330}, {- 2, - 66}, {- 1, - 12}, {1, - 6}, {2, 30}, {3, 264}, {6, 8094}}
dove non si vede nessuno zero razionale e si vede uno zero reale per x ∈ (1, 2).
Tentando la scomposizione per coppie di zeri complessi coniugati cioè per trinomi quadratici si trova
* q(x) = x^5 + 2*x^3 - 3*x^2 - 6 = (x^2 + 2)*(x^3 - 3) =
= (x^2 + 2)*(x - 3^(1/3))*(x^2 + 3^(1/3)*x + 3^(2/3))
da cui gli zeri di q(x)
* uno zero reale, la radice cubica di tre: x = 3^(1/3).
* due zeri immaginarî coniugati: x = ± √2.
* due zeri complessi coniugati: x = - 3^(1/3) ± i*3^(5/6))/2.
e infine la scomposizione reale di p(x)
* p(x) = (x^2 + 3^(1/3)*x + 3^(2/3))*(x^2 + 2)*(x - 3^(1/3))*x^2
in cui gli zeri reali vengono dai fattori a destra, quelli complessi dal fattore a sinistra, quelli immaginarî dal fattore intermedio.

Raccoglimento totale

x^2 (x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 6)

raccoglimento parziale

x^2 [ x^3 (x^2 + 2) - 3 (x^2 + 2) ] =

= x^2 (x^2 + 2)(x^3 - 3)

basta - non ci sono prodotti notevoli riconoscibili in Q