Scomposizioni polinomi

Per la regola del resto P(-2) = R = 0

2(-2)^3 + 5(-2)^2 -(-2) + a = 0

-16 + 20 + 2 + a = 0

a = -6

2x^3 + 5x^2 - x - 6 é divisibile per x - 2

Applicando la regola di Ruffini

    | 2 5 - 1 | - 6
    |            |
-2 |    -4 -2 | 6
-------------------------
         2 1 -3 | 0

(x + 2) (2x^2 + x - 3) = 0

(x + 2) (2x^2 + 3x - 2x - 3) = 0

(x + 2) [x(2x + 3) - (2x+3) ] = 0

(x + 2) (2x + 3) (x - 1) = 0

Teorema di Ruffini (caso particolare della regola del resto)

Se il polinomio:

Ρ(x) = 2·x^3 + 5·x^2 - x + a

è divisibile per (x+2) significa che:

P(-2)= 2·(-2)^3 + 5·(-2)^2 - (-2) + a =R (resto della divisione R = 0)

R= a + 6 =0--> a = -6

Ρ(x) = 2·x^3 + 5·x^2 - x - 6

A questo punto puoi dividere il polinomio con Ruffini ed ottieni:

(2·x^3 + 5·x^2 - x - 6)/(x + 2) = 2·x^2 + x - 3

quindi riconosci che per x=1 quanto hai ottenuto si annulla (2+1-3=0). Quindi quanto hai ottenuto è divisibile per (x-1). Quindi dividi:

(2·x^2 + x - 3)/(x - 1) = 2·x + 3

Quindi la scomposizione è bella che fatta:

2·x^3 + 5·x^2 - x - 6 = (x - 1)·(x + 2)·(2·x + 3)

dividendo: 2*x^3 + 5*x^2 - x + a
divisore: x + 2
quoziente: 2*x^2 + x - 3
resto: a + 6
Affinché il quoziente diventi quoto, cioè fattore di proporzionalità, occorre annullare il resto: a = - 6.
La richiesta fattorizzazione è
* 2*x^3 + 5*x^2 - x - 6 = 2*(x + 2)*(x + 3/2)*(x - 1)