[Risolto] Scomposizione polinomio

x^7 - 3·x^6 + x^5 + 4·x^3 =

=x^3·(x - 2)^2·(x^2 + x + 1)

Spiegazione:

Raccoglimento a fattor comune

x^3·(x^4 - 3·x^3 + x^2 + 4)

2° fattore P(x)=x^4 - 3·x^3 + x^2 + 4

P(2)=2^4 - 3·2^3 + 2^2 + 4 = 0

Significa che il polinomio P(x) è divisibile per (x-2):

(x^4 - 3·x^3 + x^2 + 4)/(x - 2) =x^3 - x^2 - x - 2

quindi:

x^7 - 3·x^6 + x^5 + 4·x^3 =x^3·(x - 2)·(x^3 - x^2 - x - 2)

Ma pure il quadrinomio finale è divisibile per (x-2):

2^3 - 2^2 - 2 - 2 =0

Quindi:

(x^3 - x^2 - x - 2)/(x - 2)= x^2 + x + 1

quindi ultimo quoziente che è falso quadrato quindi non più divisibile (e quindi fattorizzabile)

Ottieni quindi alla fine x^3·(x - 2)^2·(x^2 + x + 1)

Metto in evidenza il massimo comun divisore dei monomi di p(x) e osservo il quoto q(x)
* p(x) = x^7 - 3*x^6 + x^5 + 4*x^3 = (x^4 - 3*x^3 + x^2 + 4)*x^3
che è il polinomio
* q(x) = x^4 - 3*x^3 + x^2 + 4 = ((x - 3)*x + 1)*x*x + 4
monico, a coefficienti reali e termine noto intero; perciò, se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i divisori interi {- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4} del termine noto 4; ma, se non ne ha, servono gli spaventosi radicali annidati di Ferrari-Cardano.
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Le valutazioni {x, q(x)} sugli zeri candidati sono
* {{- 4, 468}, {- 2, 48}, {- 1, 9}, {1, 3}, {2, 0}, {4, 84}}
da cui
* p(x) = (x^4 - 3*x^3 + x^2 + 4)*x^3 = (x^3 - x^2 - x - 2)*(x - 2)*x^3
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Il nuovo quoto
* q1(x) = x^3 - x^2 - x - 2 = ((x - 1)*x - 1)*x - 2
se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i divisori interi {- 2, - 1, 1, 2} del termine noto 2; ma, se non ne ha, servono gl'intricati radicali di Tartaglia-Cardano.
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Le valutazioni {x, q1(x)} sugli zeri candidati sono
* {{- 2, - 12}, {- 1, - 3}, {1, - 3}, {2, 0}}
da cui
* p(x) = (x^3 - x^2 - x - 2)*(x - 2)*x^3 = (x^2 + x + 1)*(x - 2)*(x - 2)*x^3
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Il nuovo quoto
* q2(x) = x^2 + x + 1 = (x + 1)*x + 1
se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i divisori interi {- 1, 1} del termine noto 1; ma, se non ne ha, bastano i semplici radicali di Bramegupta.
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Le valutazioni {x, q2(x)} sugli zeri candidati sono
* {{- 1, 1}, {1, 3}}
dove zeri non ce ne sono: la scomposizione reale termina con
* p(x) = (x^2 + x + 1)*((x - 2)^2)*x^3
e, per completarla con gli zeri complessi, si applica Bramegupta ottenendo
* x^2 + x + 1 = (x - (- 1 - i*√3)/2)*(x - (- 1 + i*√3)/2)
infine
* p(x) = (x - (- 1 - i*√3)/2)*(x - (- 1 + i*√3)/2)*((x - 2)^2)*x^3