[Risolto] Scomposizione ed equazione

Se la variabile x è reale allora l'equazione
567) p(x) = 4*x^3 + 16*x^2 - x - 4 = 0
almeno una radice reale ce la deve avere, perché tali sono i coefficienti; anzi, poiché questi sono razionali (4, 16, - 1, - 4), potrebbe addirittura avere almeno una radice razionale.
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Se radici razionali esistono esse possono solo essere il rapporto fra un numeratore che sia divisore intero del termine noto ({- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4}) e un denominatore che sia divisore naturale del coefficiente direttore ({1, 2, 4}) cioè uno dei dieci valori candidati
* V = {v} = {- 4, - 2, - 1, - 1/2, - 1/4, 1/4, 1/2, 1, 2, 4}
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Per fare le dieci valutazioni p(v) di verifica (Regola di Ruffini) è bene riscrivere la cubica
* p(v) = p(x)/4 = ((v + 4)*v - 1/4)*v - 1
in modo da minimizzare il numero moltiplicazioni/valutazione.
L'elenco delle coppie {v, p(v)} è
* {- 4, 0}, {- 2, 15/2}, {- 1, 9/4},
{- 1/2, 0}, {- 1/4, - 45/64}, {1/4, - 51/64},
{1/2, 0}, {1, 15/4}, {2, 45/2}, {4, 126}
dove s'individuano ben tre zeri razionali che consentono la soluzione per scomposizione
567) p(x) = 4*x^3 + 16*x^2 - x - 4 = 0 ≡
≡ 4*(x + 4)*(x + 1/2)*(x - 1/2) = 0 ≡
≡ (x = - 4) oppure (x = - 1/2) oppure (x = 1/2)
che è proprio il risultato atteso.
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NOTA PRATICA
Io le dieci applicazioni della Regola di Ruffini le ho calcolate a software, in ordine crescente e tutte.
Dovendole calcolarle a mano (o anche a mente, stante la semplicità della forma p(v)) avrei risparmiato un po' di moltiplicazioni procedendo diversamente.
Appena verificato, con una sola valutazione, che p(- 4) = 0 avrei calcolato il quoziente
* q(v) = (v^3 + 4*v^2 - v/4 - 1)/(v + 4) = v^2 - 1/4 = 0 ≡
≡ v^2 = 1/4 ≡
≡ v = ± 1/2

@Aurora_Lecchi

Puoi raccogliere parzialmente tra il primo e il secondo addendo 4x². Puoi scomporre il polinomio nel modo seguente:

4x²(x+4) - (x+4) =

= (4x² - 1)(x + 4) =   (primo fattore = differenza di quadrati) 

= (2x + 1)(2x - 1)(x + 4)

Le soluzioni dell'equazione sono:

x1 = - 4 ; x2 = 1/2 ; x3 = - 1/2

Oppure utilizzando la regola di Ruffini

A questo punto (4x² - 1) è la differenza di due quadrati. 

(a² - b²) = (a + b) (a - b) 

Quindi (4x² - 1) = (2x + 1)(2x - 1)

@Aurora_Lecchi 

Esattamente x= - 4, x= 1/2, x= - 1/2 sono tutti valori per i quali f(x) =0, dove f(x) è il polinomio da scomporre.

Ora lo svolgo su foglio 

4x^2 (x + 4) - (x + 4) = 0

(x + 4) (4x^2 - 1) = 0

(x + 4) (2x + 1) (2x - 1) = 0

x = -4

x = -1/2

x = 1/2