[Risolto] SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO.

@alby

Ciao. Ci chiedi:

"avrei bisogno di capire quando ho un trinomio di secondo grado, se usare la tecnica della scomposizione di un "trinomio speciale" oppure se utilizzare la "formula risolutiva di un'equazione di secondo grado"

Diciamo subito che la scomposizione di un trinomio di secondo grado ti permette poi, in base alla legge di annullamento di un prodotto di determinare le radici di un'equazione di secondo grado. Questo è importante se ancora non sai risolvere una equazione di secondo grado mediante la formula risolutiva che a quanto pare conosci molto bene.

Quindi supponiamo che tu non sappia risolvere un'equazione di secondo grado. In tal caso è possibile adoperare diverse tecniche risolutive di scomposizione: l'unico inconveniente che hanno, a mio avviso, è quello che ti permettono di ottenere, principalmente, radici rappresentate da numeri razionali.

Le tecniche principali di scomposizione che puoi adoperare sono:

Scomposizione somma prodotto:

x^2 + x - 6  

in tal caso: a=1 ; b=1; c=-6

S=b=1

P=c= -6

Si tratta quindi di trovare 2 numeri interi tali 

S= somma; P = prodotto

Se riesci a trovarli puoi scomporre il trinomio in (x + α)·(x + β). Ti suggerisco un modo, poi fai un po' quello che ti pare e piace...

Osserva il prodotto P è NEGATIVO: quindi sai già che α e β sono discordi. Quindi cominci a sistemare i segni:

(x+?)(x-?)----> l'intuizione ti permette di affermare che: (x+3)(x-2)

Se a ≠ 1

Puoi utilizzare la tecnica di decomposizione del termine intermedio che si riallaccia a quella precedente, solamente per il fatto di trovare due numeri che hanno per somma b e per prodotto ac, quindi riportandoti poi ad una scomposizione legata a raccoglimenti a fattori parziali.

6·x^2 + x - 15

S=b=1

P=ac=6·(-15) = -90

Qui è un po' più difficile... +10; -9 vanno bene no?

Quindi come dice il nome della scomposizione scrivi:

6x^2+(10-9)x-15=6x^2+10x-9x-15=

=2x(3x+5)+3(x+5)=(3x+5)(2x+3)

Altra scomposizione è il quadrato di un binomio

Qui devi riconoscere nel trinomio dato:

i due quadrati ed il doppio prodotto

(beh comunque lo sai fare no?)

Bisogna vedere come si presenta il trinomio di 2° grado.

Esempio:

x^2 - 10x + 25, lo riconosci? E' un quadrato di binomio, (due quadrati e il doppio prodotto 10x).

x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.

Puoi sempre applicare la formula ridotta risolutiva dell'equazione di 2° grado:

x^2 - 10x + 25 = 0;

x = - 5 +- radicequadrata(25 - 25),

x12 = - 5;

(x - 5) * (x - 5).

x^2 - 5x + 6;

x1 * x2 = 6;

x1 + x2 = 5;

x^2 - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2);

- 5 = b;  c = 6;

 (x1 + x2) = - b;

c = x1 * x2;

x^2 - 5x + 6 = 0;

x = [5+- radicequadrata(25 - 24)] / 2;

x = [5 +- 1] / 2;

x1 = 6/2 = 3;

x2 = 4/2 = 2;

x^2 - 5x + 6 = (x - 3 * (x - 2).

Mi dispiace, se non ti ho chiarito, non ho capito.

Non c'è regola precisa, si prova. Ci vuole esercizio e occhio! Prova sempre con la formula risolutiva; se sotto radice ottieni un numero negativo, (discriminante < 0), il trinomio non si scompone.

Esempio x^2 + 2x + 6 = 0;  x = - 1 +- radice(1 - 6);

x = - 1 +-radice(-5)

non ha soluzione in campo reale, il trinomio non si scompone.

Ciao @alby

Puoi verificare innanzitutto il segno del discriminante dell'equazione di secondo grado associata. Se D<0 l'equazione non ammette soluzioni in R e quindi non può essere scomposto!

Se D=0 hai due soluzioni reali coincidenti => quadrato di un binomio

Se D>0 puoi scomporlo in infiniti modi e non esiste a priori una regola. 

Vedo la domanda a un paio d'ore dalla pubblicazione, e vi aggiungo/incorporo anche cose scritta da te @mg e viceversa.
«Bisogna vedere come si presenta il trinomio di 2° grado.»
« Ci vuole esercizio e occhio!»
«Come faccio a riconoscere se applicare un trinomio speciale oppure la formula risolutiva?»
«se dovessi applicare sempre le formule risolutive non esisterebbero le altre tecniche»
e inizio a rispondere da quest'ultima osservazione: infatti LE ALTRE TECNICHE NON ESISTONO.
Ti parrà strano, ma {trinomio speciale, pura, spuria, monomia, formula risolutiva} sono solo stupidi (a mio parere, beninteso!) trucchetti che vorrebbero essere semplificativi e introduttivi nella didattica rivolta ai principianti e invece presuppongono capacità che il principiante, in quanto tale, deve ancora sviluppare; capacità di riconoscere configurazioni ("vedere come si presenta", "esercizio e occhio"; e tu poi giustamente chiedi "Come faccio a riconoscere") o, ancora peggio perché i peggiori errori si commettono rammentando fischi per fiaschi, capacità di rammentare formule (il vero studioso ha orrore dell'imparare a memoria).
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La mia risposta a "c'è un modo per capire quale delle due tecniche usare?" è che finché hai bisogno di porre questa domanda (cioè sei principiante) NON DEVI USARE NESSUNA DELLE DUE.
Quando non sarai più principiante i tuoi occhi avranno imparato a riconoscere configurazioni e la tua memoria avrà registrato la formula risolutiva per abitudine (e non per averla imparata a memoria) e non avrai più bisogno di porre questa domanda perché il tuo subcosciente deciderà per te.
Il processo d'apprendimento è simile a quello del nuotare o dell'andare in bicicletta: sei principiante finché devi stare attento a ciò che fai, non lo sei più quando ti riesce istintivo.
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Beh, ma allora, se NON DEVO USARE NESSUNA DELLE DUE, come diavolo faccio?
Semplice!
Lasci perdere gli pseudotrucchetti didattici e ti rivolgi all'originale da cui essi sono malnati.
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Nell'ormai lontano VII secolo (a.D. 665, 1358 anni fa) un genio che si chiamava Bramegupta (detto Brahmagupta nei rarissimi libri italiani che si degnano di riconoscerne i meriti) pubblicò una procedura sistematica per scrivere la soluzione simbolica di QUALUNQUE equazione di grado due.
La procedura consiste di pochi passi.
* scrivere l'equazione nella forma monica "x^2 - s*x + p = 0";
* completare il quadrato dei termini variabili "x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2";
* scrivere il termine noto come opposto di un quadrato "p - (s/2)^2 = - (√(s^2 - 4*p)/2)^2"
* all'equazione così modificata applicare prima il prodotto notevole "somma per differenza" e poi la legge d'annullamento del prodotto
** (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) = 0 ≡
≡ (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2 = 0) oppure (x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2 = 0) ≡
≡ (x = (s - √(s^2 - 4*p))/2) oppure (x = (s + √(s^2 - 4*p))/2)
e questo risultato, guarda caso, è proprio la formula che t'hanno fatto imparare a memoria.
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ESEMPIO (già in forma monica, grazie @mg)
* x^2 + 2*x + 6 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - (1)^2 + 6 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + 5 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - (i*√5)^2 = 0 ≡
≡ (x - 1 + i*√5)*(x - 1 - i*√5) = 0 ≡
≡ (x - 1 + i*√5 = 0)*(x - 1 - i*√5 = 0) ≡
≡ (x = 1 - i*√5) oppure (x = 1 - i*√5)
NB: avevo scritto "soluzione SIMBOLICA di QUALUNQUE equazione di grado due", ma non che quei simboli dovessero rappresentare valori reali.

Il trinomio a x^2 + bx + c é scomponibile elementarmente se trovi due numeri interi che hanno somma b e prodotto a*c. Se tali numeri non esistono si deve usare la formula risolutiva perché le radici non sono razionali.