scomposizione

Sì, almeno su R.

Il polinomio x^2 + y^2 + 4 è monico e di grado due in entrambe le variabili quindi per il Teorema Fondamentale dell'Algebra si deve scomporre, ad esempio in x, nel prodotto (x - p)*(x - q) = x^2 - (p + q)*x + p*q
Per il Principio d'Identità Polinomiale si deve avere
* (p + q = 0) & (p*q = k^2)
dove k = √(y^2 + 4) > 0, in quanto nell'originale manca un termine in x e, a parte x^2, c'è solo qualcosa di positivo.
Tale sistema di grado due ha soluzioni simmetriche puramente immaginarie
* (p = - i*k) & (q = i*k) oppure (p = i*k) & (q = - i*k) ≡
≡ (p = - √(- (y^2 + 4))) & (q = √(- (y^2 + 4))) oppure (p = √(- (y^2 + 4))) & (q = - √(- (y^2 + 4)))
e, dal momento che in nessuna delle due soluzioni né p né q hanno valore reale, il trinomio x^2 + y^2 + 4 si classifica come "irriducibile sui reali".
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Risposte
1) "perchè x^2+y^2+4 è irriducibile?" Perché no: il Teorema Fondamentale dell'Algebra ne garentisce la riducibilità, come t'ho mostrato qui sopra.
2) "Perché x^2 + y^2 + 4 è irriducibile sui reali?" Perché, come t'ho mostrato qui sopra, non può avere zeri reali.