Una pietra di massa m=3 Kg e di dimensioni trascurabili è posta sulla sommità di una superficie emisferica liscia di raggio R=10 m. La pietra ha una velocità iniziale di modulo v0=5 m/s.
Si determini:
a) la coordinata angolare f del punto in cui la pietra si stacca dalla superficie;
b) il valore minimo di v0 affinché la pietra si stacchi dalla superficie all’istante iniziale.
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Livello 3
Si stacca quando m v1^2/R = mg cos(alfa).
m g cos(alfa) è la forza peso premente verso il centro della superficie.
Energia iniziale:
Eo = 1/2 m vo^2 + m g R;
Energia nel punto di stacco ad altezza h1:
h1 = R * cos(alfa); guarda la figura sopra;
E1 = 1/2 m v1^2 +m g R cos(alfa);
m v1^2/R = mg cos(alfa);
v1^2 = R g cos(alfa);
Eo = E1;
1/2 m v1^2 +m g R cos(alfa) = 1/2 m vo^2 + m g R;
1/2 R g cos(alfa) + R g cos(alfa) = 1/2 v o^2 + R g;
3/2 R g cos(alfa) = 1/2 vo^2 + R g;
cos(alfa) = vo^2 / (3Rg) + 2/3 = 5^2/ (3 * 10 * 9,8) + 2/3 = 0,752;
alfa = arcos(0,752) = 41,2°.
Si stacca subito se la F centripeta è uguale al peso m g. Non c'è la forza premente sulla superficie.
m v1^2 / R = m g;
v1 = radice(R * g) = radice(10 * 9,8) = 9,9 m/s.
Ciao @boboclat
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Genius II
Rivisto con figura :
a)
g*sin α -N = V^2/r
la perdita di contatto avviene per N = 0, da cui :
g*sin α = V^2/r
V^2 si ricava dalla conservazione dell'energia
Vo^2+2gr = 2gr*sin α+V^2
Vo^2+2gr(1-senα) = V^2
g*r*sin α = Vo^2+2gr(1-sin α)
g*r*sin α*(1+2) = Vo^2+2gr
sin α = (Vo^2+2gr)/3gr = (5^2+20*9,806)/(30*9,806) = 0,751
angolo α = 48,68°
angolo 90-α = 41,32°
b)
V'o^2 = r*g
V'o =√10*9,80 = 9,90 m/sec
oppure :
α = 90°
1*3gr-2gr = V'o^2
V'o = √g*r = √98 = 9,90 m/sec
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Genius II
@remanzini_rinaldo Perché hai usato la velocità 9,90 m/s? Credo ci sia qualche problema nella tua risoluzione. Ciao buon sabato!
hai ragione, grazie.....Buon fine settimana anche a te🌹
Sul corpo agiscono il suo peso P e la reazione N del vincolo rappresentato dalla superficie sferica che, essendo liscia sarà (tale reazione) ad essa perpendicolare.
Si proiettano sul raggio orientato verso l’esterno le forze agenti sulla massa m:
N - m·g·COS(θ) = m·a-------> N - m·g·COS(θ) = - m·v^2/r ( = forza centripeta)
N = g·m·COS(θ) - m·v^2/r
In assenza di attrito si conserva l’energia meccanica
Contando le quote dal centro della sfera verso l’alto si ha:
mgr+1/2* m*Vo^2= energia meccanica iniziale
energia meccanica in una quota generica:
m·g·r·COS(θ) + 1/2·m·v^2
Quindi uguagliando:
mgr+1/2* m*Vo^2 = m·g·r·COS(θ) +1/2·m·v^2
Per N=0 cioè la particella si stacca quando la reazione N si annulla:
N=0 per g·m·COS(θ) - m·v^2/r = 0--------> v = √(g·r·COS(θ))
Quindi deve risultare:
mgr+1/2* m*Vo^2 = m·g·r·COS(θ) +1/2·m·(g·r·COS(θ))
inserendo i valori numerici:
3·9.806·10 + 1/2·3·5^2 = 3·9.806·10·COS(θ) + 1/2·3·(9.806·10·COS(θ))
331.68 = 294.18·COS(θ) + 147.09·COS(θ)
331.68 = 44127·COS(θ)/100
COS(θ) = 0.7516486504
Quindi: θ = 0.7202381878 in radianti
0.7202381878/pi = θ/180-----> θ = 41.267° in sessadecimali
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per rispondere all'ultima domanda bisogna dire che:
mg=mv^2/r-------> v = √(g·r) =√(9.806·10) = 9.903 m/s
Cioè si deve uguagliare la forza centripeta alla forza peso
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Genius II
