Sul corpo agiscono il suo peso P e la reazione N del vincolo rappresentato dalla superficie sferica che, essendo liscia sarà (tale reazione) ad essa perpendicolare.
Si proiettano sul raggio orientato verso l’esterno le forze agenti sulla massa m:
N - m·g·COS(θ) = m·a-------> N - m·g·COS(θ) = - m·v^2/r ( = forza centripeta)
N = g·m·COS(θ) - m·v^2/r
In assenza di attrito si conserva l’energia meccanica
Contando le quote dal centro della sfera verso l’alto si ha:
mgr+1/2* m*Vo^2= energia meccanica iniziale
energia meccanica in una quota generica:
m·g·r·COS(θ) + 1/2·m·v^2
Quindi uguagliando:
mgr+1/2* m*Vo^2 = m·g·r·COS(θ) +1/2·m·v^2
Per N=0 cioè la particella si stacca quando la reazione N si annulla:
N=0 per g·m·COS(θ) - m·v^2/r = 0--------> v = √(g·r·COS(θ))
Quindi deve risultare:
mgr+1/2* m*Vo^2 = m·g·r·COS(θ) +1/2·m·(g·r·COS(θ))
inserendo i valori numerici:
3·9.806·10 + 1/2·3·5^2 = 3·9.806·10·COS(θ) + 1/2·3·(9.806·10·COS(θ))
331.68 = 294.18·COS(θ) + 147.09·COS(θ)
331.68 = 44127·COS(θ)/100
COS(θ) = 0.7516486504
Quindi: θ = 0.7202381878 in radianti
0.7202381878/pi = θ/180-----> θ = 41.267° in sessadecimali
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per rispondere all'ultima domanda bisogna dire che:
mg=mv^2/r-------> v = √(g·r) =√(9.806·10) = 9.903 m/s
Cioè si deve uguagliare la forza centripeta alla forza peso