Salve. Mi aiutate a risolvere questo problema

@dan2004 

I triangoli BOC e BOA sono equilateri, essendo i tre lati uguali al raggio della circonferenza.

L'angolo in B risulta quindi di 120 gradi essendo la somma di due angoli di 60 gradi è l'angolo in D è di 60 gradi essendo il quadrilatero inscritto, per cui B+D= 180 gradi.

Possiamo scrivere che l'area del triangolo ABC è 

A = 1/2* AB * BC * Sen(120) =

   = 1/2 * 4 * radice (3) / 2 = radice (3)

Considero ora il triangolo ACD. Abbiamo detto che l'angolo in D è 60 gradi, mentre l'angolo CAD=x. Quindi l'angolo ACD è per differenza 180-60-x = 120-x.

Applichiamo il teorema dei seni due volte. Possiamo scrivere

AC / sen(D) = CD / sen (X)

dove AC=2*r*radice (3) / 2 = r* radice(3)

per il teorema della corda

da cui

CD= (AC * sen(X)) / sen(60) =

     = (r* radice (3) * sen(x)) /sen(60) = 2r * sen(x)

      = 4* sen(x)

Quindi CD = 4sen(X)

Inoltre possiamo scrivere 

AC / sen(D) = AD / sen (120-x)

Da cui ricaviamo 

AD = (AC * sen(120-x)) / sen(60) 

Ma

sen(a-b) = sen(a) cos(b) - cos(a) sen(b) 

Quindi 

AD = r*radice (3) * ((radice(3)/2) * cos (x) + 1/2*sen(x)) / sen(60) = 

 =r * radice (3) * cos(X) + r * sen(X) =

 = 2* radice (3) * cos(x) + 2 sen(x) 

Quindi AD= 2*radice (3)*cos(X) + 2 * sen (X) 

Quindi l'area di ACD risulta 

A1 = 1/2*AD*AC*sen(60) =

 = 3/2 * r² * sen(X) cos(X) + radice (3)/2 * r² * sen²(X) =

  = 6*sen(X)cos(x) + 2*radice (3)*sen²(X)

Quindi l'area del quadrilatero risulta essere la somma delle aree dei due triangoli. 

A_quad= radice(3) + 6sen(x)cos(x)+2*radice(3)*sen²(x)

Poiché deve essere l'area del quadrilatero radice (3) dovrà essere 

Sen(x) =0 - - > x=0

oppure 

Sen (x) = - radice (3) * cos(X)  - - > x=2/3*PI 

triangoli AOB e BOC equilateri per costruzione {angoli di 60°}

cordaAB = r = cordaBC ---> arcoAB = arcoBC implica arco AC corrisponde a 120° al centro e angolo in D uguale a 60°

A(x) = Scda + Sabc

th dei seni

d/sen60° = a/senx = c/sen(2pi/3 - x)

misura di AC = d  = 2*r*cos30° = 2sqrt3 ---> d/sen60 =2sqrt3/(sqrt3/2) =4

misura di DC = a = 4senx
misura di AD = c = 4sen(2pi/3 - x)
h = a*sen(2pi/3 - x) = 4senx*sen(2pi/3 - x)

Scda = d*h/2 = 2sqrt3*4senx*sen(2pi/3 - x)/2 = sqrt3*4senx*sen(2pi/3 - x)

A(x) = sqrt3*4senx*sen(2pi/3 - x) + Sabc

ma ...

Sabc =d* h'/2 = (2*r*cos30°)(r*sen30°)/2 = r²*sqrt3/4 = sqrt3

A(x) = sqrt3*4senx*sen(2pi/3 - x) +sqrt3 = sqrt3 (1+ 4senx*sen(2pi/3 - x))

{quindi A(x) = sqrt3 implica Scda =0 e ciò succede quando D coincide con C cioè quando x = 0 oppure quando D coincide con A in cui x tende ad opporsi allo stesso arco a cui si oppone l'angolo in B [che è di 120° che in radianti è 2pi/3] oppure per gamma che tende a zero x tende a 180° - 60° =120°}

comunque ponendo   4senx*sen(2pi/3 - x) = 0  perchè sia A(x) = sqrt3 e risolvendo
si ha:

senx = 0 ---> x = 0°

e {che vale il logico oppure}

sen(2pi/3 - x) = 0 ---> x = 2pi/3