Si ha un'urna contenente 8 palline bianche. Qual è il numero minimo di palline rosse che bisognerebbe aggiungere perché, estraendo due palline contemporaneamente, la probabilità che esse siano una bianca e una rossa sia 16/45?
Si ha un'urna contenente 8 palline bianche. Qual è il numero minimo di palline rosse che bisognerebbe aggiungere perché, estraendo due palline contemporaneamente, la probabilità che esse siano una bianca e una rossa sia 16/45?
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Livello 0
Risolvo l'equazione fratta:
8/(8 + x)·(x/(7 + x)) + x/(8 + x)·(8/(8 + x - 1)) = 16/45
ed ottengo:
x = 28 ∨ x = 2
Quindi il numero minimo di palline rosse da inserire è 2
Risposta B
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Genius II
Estrarre due palline contemporaneamente o successivamente senza reimmissione è lo stesso.
Se l'urna contiene r > 0 palline rosse e b > 0 bianche la prima estratta è
A) rossa con probabilità p1 = r/(b + r)
B) bianca con probabilità p2 = b/(b + r)
Dopo A la seconda estratta è
A1) rossa con probabilità p3 = (r - 1)/(b + r - 1)
A2) bianca con probabilità p4 = b/(b + r - 1)
Dopo B la seconda estratta è
B1) rossa con probabilità p5 = r/(b + r - 1)
B2) bianca con probabilità p6 = (b - 1)/(b + r - 1)
S.E.&O.
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Genius I
@exprof Grazie mille, era proprio il fatto che estrarre insieme ed estrarre consecutivamente le due palline che non mi era chiaro. ❤️
Palline 8 + r
Pr [1b + 1r] = C(8,1)*C(r,1)/C(8+r,2) = 16/45
45*8*r = 16 (8+r)(7+r)/2
divido per 8
45 r = r^2 + 15r + 56
r^2 - 30r + 56 = 0
r = (15 +- sqrt(225 - 56)) = 15 +- 13 = 2 V 28
per cui r = 2
Infatti con 8+2
C(8,1)*C(2,1)/C(10,2) = 8*2/(10*9/2) = 16/45
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Livello 7