[Risolto] Salve a tutti ho bisogno di aiuto in matematica

La funzione: y = e^(- x^2)·√(4 - x^2)

è pari perché prodotto di due funzioni pari.

Definita per 

4 - x^2 ≥ 0-----> -2 ≤ x ≤ 2

Si annulla agli estremi del suo C.E. ed in cui risulta non negativa.

La derivata prima è:

 y' = dy/dx= x·e^(- x^2)·(2·x^2 - 9)/√(4 - x^2)

La derivata seconda è:

2·e^(- x^2)·(2·x^6 - 19·x^4 + 48·x^2 - 18)/(4 - x^2)^(3/2)

Scriviamo radice(4 - x^2) = (4 - x^2)^1/2;

derivata del prodotto di due funzioni:

f'(x) = (e^-x^2) * (-2x) * (4 - x^2)^1/2 + (e^-x^2) * [1/2 * (4 - x^2)^(-1/2) * (- 2x)];

f'(x) = (- 2x) * (e^-x^2) * (4 - x^2)^1/2 + [(- 2x) *  (e^-x^2) * 1/2 * (4 - x^2)^(-1/2)];

f'(x) = - 2x * (e^-x^2) * [(4 - x^2)^1/2 + 1/2 * (4 - x^2)^(-1/2)];

f'(x) = - 2x * (e^-x^2) * [radice(4 - x^2) + 1 / (2 * radice(4 - x^2)].

Gli estremi relativi di una funzione f(x) derivabile due volte sono le ascisse soluzione dei sistemi
* (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) per i minimi relativi
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) per i massimi relativi
e i relativi punti d'estremo sul grafico si hanno alle ordinate y = f(x).
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Per derivare una funzione complicata come quella data
* "F(x)=(e^-x^2)radice(4-x^2)" ≡
≡ f(x) = √(4 - x^2)/e^(x^2)
si applicano successivamente le Regole di derivazione fino a trovare derivate che si scrivono a colpo d'occhio. Poi si retrosostituiscono i risultati ed eventualmente si semplifica l'espressione ottenuta.
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A1) D[n(x)/d(x)] = (d*n' - n*d')/d^2
* D[√(4 - x^2)/e^(x^2)] =
= ((e^(x^2))*D[n(x)] - (√(4 - x^2))*D[d(x)])/(e^(x^2))^2 =
= ((e^(x^2))*D[√(4 - x^2)] - (√(4 - x^2))*D[e^(x^2)])/e^(2*x^2)
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B1) D[√(u(x))] = u'/(2*√u)
* D[√(4 - x^2)] = D[4 - x^2]/(2*√(4 - x^2)) = - 2*x/(2*√(4 - x^2)) =
= - x/√(4 - x^2)
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B2) D[e^(u(x))] = D[u(x)]*e^(u(x))
* D[e^(x^2)] = D[x^2]*e^(x^2) = 2*x*e^(x^2)
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A2) f'(x) = D[√(4 - x^2)/e^(x^2)] =
= ((e^(x^2))*D[√(4 - x^2)] - (√(4 - x^2))*D[e^(x^2)])/e^(2*x^2) =
= ((e^(x^2))*(- x/√(4 - x^2)) - (√(4 - x^2))*2*x*e^(x^2))/e^(2*x^2) =
= x*(2*x^2 - 9)/((e^(x^2))*√(4 - x^2))
* definita per x ∉ {- 2, 2}
* definita reale per - 2 < x < 2
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C) f'(x) = 0 ≡
≡ x*(2*x^2 - 9)/((e^(x^2))*√(4 - x^2)) = 0 ≡
≡ (x = - 3/√2 ~= - 2.12) oppure (x = 0) oppure (x = 3/√2 ~= 2.12)
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Con la medesima procedura si ha
* f''(x) = (4*x^6 - 38*x^4 + 96*x^2 - 36)/((e^(x^2))*(4 - x^2)^(3/2))
e se ne calcolano le valutazioni nei tre zeri di f'(x).
* f''(- 3/√2) = - i*18*√2/e^(9/2) valore immaginario
* f''(0) = - 9/2 < 0
* f''(3/√2) = - i*18*√2/e^(9/2) valore immaginario
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CONCLUSIONE
f(x) ha un solo estremo relativo: un massimo nell'origine, V(0, 2).
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%E2%88%9A%284-x%5E2%29%2Fe%5E%28x%5E2%29%5Dx%3D-3to3