Ciao a tutti. Avrei bisogno di aiuto con il seguente problema sulle rotazioni: Determina l'equazione della parabola che ha vertice nell'origine, ha asse di simmetria che forma un angolo di 45 gradi con l'asse x e interseca l'asse y nel punto P(0, sqrt(2)/2).
Risultato: 2x^2 - 4xy + 2y^2 -sqrt(2)x -sqrt(2)y=0
Grazie mille!
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Livello 0
Esercizio equivalente
Determinare l'equazione della parabola che ha vertice nell'origine, ha asse di simmetria sull'asse y e interseca la bisettrice dei quadranti pari nel punto Q(- 1/2, 1/2); poi applicarle una rotazione di θ = π/4.
Determinazione
* (y = - x) & (y = k*x^2) → (- 1/k, 1/k) = Q ≡ k = 2 →
→ Γ ≡ y = 2*x^2
Rotazione
Con
* (x = X*cos(θ) - Y*sin(θ)) & (y = X*sin(θ) + Y*cos(θ))
si ha
* X*sin(θ) + Y*cos(θ) = 2*(X*cos(θ) - Y*sin(θ))^2 ≡
≡ 2*(X*cos(θ) - Y*sin(θ))^2 - (X*sin(θ) + Y*cos(θ)) = 0 ≡
≡ P(θ) = 2*(X*cos(θ) - Y*sin(θ))^2 - (X*sin(θ) + Y*cos(θ)) = 0
da cui
* P(π/4) = (X - Y)^2 = (X + Y)/√2 ≡ X^2 - 2*X*Y + Y^2 - X/√2 - Y/√2 = 0
che, raddoppiata e minuscolizzata, è proprio il risultato atteso.
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