Rotazione di un triangolo e centro di rotazione

Asse del segmento di estremi: 

[2, 0] A

[0, 0] A'

x = (2+0)/2-----> x = 1

Asse del segmento di estremi:

[2, 2] C

[-2, 0] C'

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (x + 2)^2 + y^2

risolvo: y = 1 - 2·x

Determino il centro di rotazione:

{y = 1 - 2·x

{x = 1

risolvo: [x = 1 ∧ y = -1]----> [1,-1] D

Determino l'angolo tramite il coefficiente angolare di due rette:

[1, -1]

[2, 0]

(y + 1)/(x - 1) = (0 + 1)/(2 - 1)--->y = x - 2

quindi: m=1

[1, -1]

[0, 0]

quindi: y=-x ossia m=-1

rette perpendicolari angolo 90°

Equazioni della rotazione:

{Χ = x·COS(α) - y·SIN(α) + h

{Υ = x·SIN(α) + y·COS(α) + k

con h e k da determinare.

Facciamo riferimento sempre ad A ed A'

[x = 2, y = 0] A

[Χ = 0, Υ = 0] A'

α = 90°

{0 = 2·COS(90°) - 0·SIN(90°) + h

{0 = 2·SIN(90°) + 0·COS(90°) + k

Risolvo ed ottengo: [h = 0 ∧ k = -2]

Χ = x·COS(90°) - y·SIN(90°) + 0---> Χ = -y

Υ = x·SIN(90°) + y·COS(90°) +( -2)----> Υ = x - 2

Ripassi
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La retta s, asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è il luogo di tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da A e B
* Per a = b: s ≡ y = (p + q)/2
* Per p = q: s ≡ x = (a + b)/2
* Per (a ≠ b) & (p ≠ q): s ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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La rotazione piana di una entità in OXY per un angolo θ attorno al centro K(u, v) si ottiene con le sostituzioni
* x = X + (X - u)*cos(θ) - (Y - v)*sin(θ)
* y = Y + (X - u)*sin(θ) - (Y - v)*cos(θ)
intendendo che il riferimento Oxy si sovrapponga a quello OXY.
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Esercizio
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Il centro di rotazione è l'intersezione degli assi di due qualsiasi segmenti PP'. Qui sono dati
A(2, 0) → A'(0, 0): asse, p = q, s ≡ x = 1
C(2, 2) → C'(- 2, 0): asse, (a ≠ b) & (p ≠ q), s ≡ y = y = 1 - 2*x
da cui
* (x = 1) & (y = 1 - 2*x) ≡ K(u, v) = (1, - 1)
* (x = X + (X - 1)*cos(θ) - (Y + 1)*sin(θ)) & (y = Y + (X - 1)*sin(θ) - (Y + 1)*cos(θ))
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L'angolo di rotazione è, ovviamente, di un quarto di giro: 90°.
da cui
* sin(θ) = sin(90°) = 1
* cos(θ) = cos(90°) = 0
* (x = X - Y - 1) & (y = Y + X - 1)
che non hanno molta somiglianza col risultato atteso.
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Verifica
A(2, 0) → A'(0, 0): (2 = X - Y - 1) & (0 = Y + X - 1) ≡ (X = 2) & (Y = - 1)
palesemente sballato.
Chi sa dov'è che l'atrofia cerebrale ha colpito questa volta!