Buonasera, vi propongo questo esercizio che non riesco a risolvere.
un rombo ha perimetro 16 cm e la circonferenza inscritta ha raggio 2 cm. Calcolare le diagonali del rombo.
in allegato la prima parte svolta che mi ha permesso di trovare, tramite il primo teorema di Euclide, che la somma dei quadrati delle mezze diagonali è 16. Non so come proseguire però. Grazie mille a chi avrà voglia di aiutarmi!!
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Livello 0
2^2 = x*(4-x)
4-4x+x^2 = 0
x = (4±√16-16 /2 = 4/2 = 2 cm
AS = 4-x = 4-2 = 2 cm
il che fa del rombo un quadrato ruotato di 45°
le due diagonali sono uguali e valgono 4√2 cm
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Genius II
2p=16 da cui 4L=16 L=4. avendo la misura del lato e dell'altezza (ossia il raggio della circonferenza inscritta) di ognuno dei quattro triangoli rettangoli, posso trovare la superficie del rombo. S=4(L x r)/2= 2 x 8=16 cm^2. Esprimiamo l'area mediante le due diagonali. S= Dd/2 -> EQ 1: Dd/2=16
dal teorema di pitagora so che (D/2)^2+(d/2)^2= L^2=16 da cui EQ 2: (D)^2+(d)^2= 64
basta dunque risolvere il sistema formato dalle equazioni 1 e 2. D=32/d
32^2+d^4-64d^2=0 d^4-64d^2+32^2=0 deltaquarti=0 d^2=32 d=4rad2
D=32/4rad2= 4rad2 ; dunque la figura è un quadrato in quanto ha le diagonali congruenti.
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Livello 1
@raskolnikov 👍👌
Il rombo è un quadrato di lato 4 cm e avente diagonali pari ognuna a 4·√2 cm
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Genius II
@lucianop 👍👌👍
r = 2S/P
S = Pr/2 = 16*2/2 = 16 cm^2
(D/2)^2 + (d/2)^2 = (P/4)^2
D^2 + d^2 = (16/4)^2 * 4
D^2 + d^2 = 64
Hai quindi il sistema simmetrico
D^2 + d^2 = 64
(Dd/2)^2 = 16^2 => D^2 d^2 = 1024
per cui d^2 e D^2 sono soluzioni di
u^2 - 64 u + 1024 = 0
(u - 32)^2 = 0
u = 32
le diagonali misurano quindi
D = d = 4 rad 2 e il rombo é un quadrato
Infatti il lato é 4 rad(2)/rad(2) = 4 => P = 16
e il raggio della circonferenza inscritta é metà del lato
e quindi é 2.
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Livello 7
@eidosm 👍👌👍
