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[Risolto] ROLLE/LAGRANGE

  

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Considera la funzione:

$$
f(x)= \begin{cases}e^{-x}+2 & x>0 \\ x^3+a x+b & x \leq 0\end{cases}
$$

a. Determina per quali valori di $a$ e $b$ il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione nell'intervallo [-1, 1].

In corrispondenza dei valori di $a$ e $b$ trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
b. Stabilisci se il teorema di Rolle è applicabile alla funzione nell'intervallo [ $-1,0]$ e in caso affermativo determina i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza.
c. Stabilisci se il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione nell'intervallo $[0,1]$ e in caso affermativo determina i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza.
[a. $a=-1, b=3 ;$ b. è applicabile, $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; c. è applicabile, $\left.x=1-\ln (e-1)\right]$

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a.  

Verifichiamo le ipotesi del teorema

  • f(x) è definita in [-1, 1]. OK.
  • f(x) è continua in [-1, 1]. Sicuramente lo è nei due tratti; occorre imporre che lo sia anche nel punto di raccordo x = 0.
      • $lim_{x \to 0^+} f(x) = 3$
      • $lim_{x \to 0^-} f(x) = b$
      • $ f(0) = b$
        • f(x) è continua in x = 0 se e solo se b = 3
  • f(x) è derivabile in (-1, 1). Sicuramente lo è nei due tratti, occorre che lo sia anche nel punto di raccordo x = 0. Per esserlo è sufficiente imporre che le derivate laterali siano eguali. Osserviamo che le derivate dei due tratti sono funzioni continue allora
      • $D^- f(0) = - e ^{-0} = - 1$
      • $D^+ f(0) = 3 \cdot 0^2 + a $
        • Le due derivate laterali sono eguali per a = -1.

.

b. Rolle in [-1,0]

Osserviamo che [-1, 0] è un sotto-intervallo di [-1, 1] quindi la funzione con a = -1 e b = 3 soddisfa le tre ipotesi del teorema. Rimane da verificare che

  • f(-1) = f(0)
      • f(-1) = x³ - x + 3 = 3
      • f(0) = 3
        • Si sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di Rolle

Determiniamo i punti c∈[-1, 0]

  • derivata prima. $f'(x) = 3x^2 -1$ 
  • $ f'(c) = 0 \quad \implies \quad c = \pm \frac {\sqrt{3}}{3}$

Scartiamo il c positivo essendo fuori dall'intervallo (-1, 0), rimane

$c = -\frac {\sqrt{3}}{3}$

.

c.  [0,1] è un sotto-intervallo di [-1, 1] quindi il teorema di Lagrangia è applicabile.

Calcoli preliminari

$⊳ f(a) = f(0) = 3$

$⊳ f(b) = f(1) = 2+ \frac{1}{e}$

$⊳ f'(x) = -e^{-x}$

dal teorema sappiamo che esiste almeno un c∈(0,1) tale che

$ \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c) $

$ e^{-1} - 1 = - e^{-c} $

determiniamo il valore di c

$ \frac{1}{e} + \frac {1}{e^c} = 1$

$ e^c + e = e \cdot e^c$

$ e^c (e-1) = e$

$ e^c = \frac {e}{e-1}$

Sfruttiamo l'identità logaritmica $e^ln(y) = y$; applicando il logaritmo ad ambo i membri

$ c = ln ( \frac {e}{e-1}) = ln(e) - ln(e-1)$

$ c = 1 - ln(e-1)$

 

 



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SOS Matematica

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