Considera la funzione $f(x)=x^3-3 x+2$. a. Stabilisci se esiste un intervallo del tipo $(-a, a)$, con $a>0$, In cul $d$ applicablle il teorema di Rolle. In caso affermativo, determina l'intervallo e i punti di cul il teorema garantisce l'esistenza. b. Stabilisci se il teorema di Lagrange $d$ applicabile alla funzione $y=|f(x)|$ nell'Intervallo $[-3,-1]$ e nell'intervallo $[0,2]$. [a. L'intervallo $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$; i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza sono $x= \pm 1$; b. il teorema non è applicabile in $(-3,-1)$ perché la funzione non è derivabile per $x=-2$, mentre é applicabile in $[0,2]]$
La funzione è definita, continua e derivabile in tutto ℝ, a maggior ragione lo sarà nell'intervallo [-a, a] con a > 0.
Per applicare Rolle è necessario che
$f(-a) = f(a)$
$ -a^3+3a+2 = a^3-3a+2$
$ a(a^2-3) = 0$ dalla quale ricaviamo 3 soluzioni
a = 0. da scartare, è richiesto a > 0
a₁ = - √3. da scartare, è richiesto a > 0
a₂ = √3
quindi l'intervallo dove vale Rolle è [-√3, √3]
Determiniamo c.
$ f'(c) = 3(x^2-1) $
La derivata è nulla per x = ±1.
.
b.
Sia y(x) = |f(x)|
La funzione y(x) è definita e continua in tutto ℝ proprio come f(x)
La funzione y(x) potrebbe problemi di derivabilità laddove l'argomento del modulo cambia di segno.
Risolviamo y(x) = 0, che è un indicatore dove cercare un eventuale cambiamento di segno.
f(x) = 0
$ x^3-3x+2 = 0$
Si tratta di un polinomio monico (coefficiente della massima potenza eguale a 1). Se il polinomio ammette una radice razionale allora quest'ultima è un divisore del termine noto.
I divisori di 2 sono ±1, ±2.
Introdotti i divisori nel polinomio, che indicheremo con P(x), si vede che
⊳ P(1) = 0 ⇒ il polinomio è divisibile per (x-1)
⊳ P(-2) = 0 ⇒ il polinomio è divisibile per (x+2)
possiamo dividere il polinomio e così fattorizzare il polinomio come
$P(x) = (x-1)^2(x+2)$
Gli zeri del polinomio (ovvero della funzione) sono per
x = 1; x = -2
Notiamo che per
x = 1 la funzione non cambia di segno. Essendo presente un termine quadratico in un opportuno intorno f(x) sarà positiva o al più nulla.
x = -2 qui la funzione cambia di segno. Siamo in presenza di un punto angoloso, vedi diagramma allegato.
Rispondiamo alle due domande:
Possiamo applicare Lagrange in [-3, -1]. NO, la funzione y(x) non è derivabile per x = -2
Possiamo applicare Lagrange in [0, 2]. SI perché y(x) = f(x) nell'intervallo [-2, +∞)
