ROLLE/LAGRANGE

Sino al punto a) (cioè Th. di Lagrange)

Le due componenti della funzione definita a tratti sono continue assieme alla loro derivata nel loro tratto di competenza. Bisogna quindi assicurare nel punto di raccordo x = 1 queste due condizioni.

2·x^3 + 4·x^2 valida per x<1

LIM(2·x^3 + 4·x^2) = 6

x--> 1-

a·x^2 + b valida per x ≥ 1

a·1^2 + b

Deve quindi essere: a + b = 6

Per la derivata:

6·x^2 + 8·x valida per x<1

2·a·x valida per x ≥ 1

LIM(6·x^2 + 8·x) = 14

x--> 1-

Deve quindi essere: 

{a + b = 6

{2·a = 14

Risolvo: [a = 7 ∧ b = -1]

y=

{2·x^3 + 4·x^2 per x<1

{7·x^2 - 1 per x ≥ 1

Abbiamo quindi definito una funzione continua e derivabile in tutto R in particolare nell'intervallo richiesto

0 ≤ x ≤ 2

Per determinare il punto di Lagrange:

f(0)=2·0^3 + 4·0^2 =0

f(2)=7·2^2 - 1= 27

Il coefficiente angolare del segmento di estremi 

[0, 0] e [2, 27] vale

m = 27/2

6·x^2 + 8·x = 27/2

se risolvo ottengo:

x = - (√97 + 4)/6 ∨ x = (√97 - 4)/6

(x = -2.308142966 ∨ x = 0.9748096336)

a. Verifichiamo le ipotesi di Lagrangia.

• La funzione è definita in [0,2]. Lo è in tutto ℝ.
• La funzione deve essere continua quindi devono essere eguali
  • • $lim_{x \to 1^-}f(x) = 2 + 4 = 6$
    • $lim_{x \to 1^+}f(x) = a + b$
    • f(1) = a + b  
      • • quindi dovrà valere a + b = 6
    • La funzione deve essere derivabile quindi dovranno essere eguali le due derivate laterali
      • • $D^-f(1) = 14$
        • $D^+f(1) = 2a$
        • dalla quale ricaviamo a = 7 per cui b = -1.

nota. Abbiamo usato la continuità delle funzioni derivate.

Determiniamo il/i punto/i dove vale il teorema nell'intervallo [0,2]

Calcoli preliminari

⊳ b - a = 2

⊳ f(b) = 27

⊳ f(a) = 0

⊳ $f'(c) = \begin{cases} 6x^2+8x &\text {se $x \lt 1$} \\ 14x &\text {se $x \ge 1$} \end{cases}$

Occorre quindi considerare i due casi

a.1  per 0 ≤ x < 1 

$ \frac {f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$

$ \frac {27}{2} = 6c^2+8c$

$ 27 = 12c^2 +16c $ 

Le cui due soluzioni sono:

1. $c = \frac {-4-\sqrt{97}}{6};$ da scartare è minore di 0
2. $c = \frac {-4+\sqrt{97}}{6};$ O.K.

a.2  per 1 ≤ x < 2 

$ \frac {f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$

$ \frac{27}{2} = 14c$

$ c = \frac{27}{28};$ da scartare essendo minore di 1.

Conclusione. Un solo punto c

$c = \frac {-4+\sqrt{97}}{6};$

.

b. Rolle in [k, 0] con k < 0.

Osserviamo che f(0) = 0 occorre trovare un altro zero della funzione che soddisfi le condizioni precedentemente espresse. Nell'intervallo [k, 0] vale l'espressione del primo tratto per cui

$f(x) =   x^2(2x+4)$

Un altro zero della funzione si ha solo per x = -2 per cui l'unico intervallo dove è possibile applicare Rolle, è [-2, 0].

Conclusione. k = -2

.

c.   Rolle in [1, k]

Osserviamo che il tale intervallo la funzione si riduce alla $f(x) = 7x^2-1$

Quest'ultima è rappresentata da una parabola con vertice in V(0,-1), in particolare è rappresentata da ramo crescente della parabola.

Essendo strettamente crescente tale funzione è iniettiva quindi non possono esistere due diversi punti che hanno la stessa immagine.

Il teorema di Rolle non è applicabile.