Considera la funzione $f(x)=x^2-2 x$.
a. Determina per quale valore di $a$ il teorema di Rolle è applicabile alla funzione nell'intervallo $(-1, a)$, con $a>-1$. In riferimento a questo intervallo, determina il punto di cui il teorema garantisce l'esistenza.
b. Determina il massimo valore di $b$ per cui è applicabile il teorema di Lagrange alla funzione $y=|f(x)|$ nell'intervallo $[-2, b]$.
In riferimento al corrispondente intervallo, determina il punto di cui il teorema garantisce l'esistenza.
2180
punti
Livello 2
a. Intervallo per Rolle.
La condizione che deve essere soddisfatta è f(-1) = f(a)
f(-1) = f(a)
3 = a² - 2a; che ammette due soluzioni
a₁ = -1 da scartare (vedi testo del problema)
a₂ = 3
L' intervallo è così [-1, 3]
Le ipotesi del teorema di Rolle sono tutte soddisfatte per cui esiste almeno un punto c∈(-1, 3) dove la derivata si annulla. Determiniamo c
f'(x) = 2x - 2
ora
f'(c) = 0 ⇒ c = 1 e 1∈(-1, 3)
b.
$y(x) = |x^2 -2x| = |x| \cdot |x-2| $
La funzione si annulla nei punti x = 0 V x = 2. In tali punti la funzione non è derivabile.
L'intervallo massimo [-2, b], dove valgono tutte le ipotesi di Lagrange, è [-2, 0], in altre parole b = 0.
Determiniamo il punto c per Lagrange.
Calcoli preliminari
⊳ y(x) = |f(x)| = |x(x-2)| = x²-2x.
nota. Nell'intervallo (-2, 0) f(x) ha valori positivi, per cui
⊳ y(b) = y(0) = 0
⊳ y(a) = y(-2) = 8
⊳ y'(c) = 2c - 2
per il teorema esiste c∈(-2, 0) tale che
$ \frac {y(b) - y(a)}{b-a} = y'(c) $
$ -4 = 2(c-1) $
$ c = -1$
6074
punti
Livello 2
