Considera la funzione $y=\sqrt[3]{x^3-4 x^2}$.
a. Stabilisci se è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo $(-1,1)$.
b. Stabilisci se è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo $[0,4]$.
c. Stabilisci se è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo $[2,6]$.
In caso affermativo, determina i punti di cui i teoremi garantiscono l'esistenza.
2180
punti
Livello 2
a. Rolle in [-1,1]
Il teorema di Rolle non è applicabile
.
b. Lagrange in [0, 4]
Calcoli preliminari
⊳ b - a = 4
⊳ f(b) = f(4) = 0
⊳ f(a) = f(0) = 0
⊳ $f'(x) = \frac {x(3x-8)}{3 \sqrt[3]{(x^2(x-4))^2}}$
Applicando Lagrange possiamo affermare che esiste un punto c∈(0, 4) tale che
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$
$ \frac {c(3c-8)}{3 \sqrt[3]{(c^2(c-4))^2}} = 0 $
$ c(3c-8) = 0 $
due soluzioni
.
c. Lagrange in [2,6]
Dalla formula della derivata,
$f'(x) = \frac {x(3x-8)}{3 \sqrt[3]{(x^2(x-4))^2}}$
osserviamo che la funzione derivata non è definita per x = 0 e per x = 4.
Ora x = 0 non entra nelle ipotesi di Lagrange ma x = 4 è un punto interno all'intervallo (0,6). Conclusione. Non possiamo applicare Lagrange.
6074
punti
Livello 2
