Considera la funzione $y=\left|x^2-4 x+3\right|$.
a. Stabilisci se è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo $(-1,1)$ e nell'intervallo $[1,3]$.
b. Stabilisci se è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo [2, 4].
In caso affermativo, determina i punti di cui i teoremi garantiscono l'esistenza.
2181
punti
Livello 2
a. Rolle per $f(x) = |x^2-4x+3|$
a.1 nell'intervallo [-1, 1]
f(b) ≠ f(a). Rolle non è applicabile.
a.2 nell'intervallo [1, 3]
Verifichiamo tutte le ipotesi del teorema di Rolle.
$|x^2-4x+3| = -x^2 + 4x -3 $ per x∈(1,3) e tale funzione, razionale intera, è derivabile
Tutte le ipotesi di Rolle sono soddisfatte.
b. Lagrange in [2, 4]
L'ipotesi di derivabilità in (2, 4) non è soddisfatta. Infatti le derivate laterali valgono:
$⊳ D^- f(x) = -2x+4 \quad \implies \quad D^- f(3) = -2 $
$⊳ D^+ f(x) = 2x-4 \quad \implies \quad D^+ f(3) = 2 $
derivate laterali differenti significa che la funzione non è derivabile nel punto x=3.
Se non è derivabile non possiamo applicare Lagrange.
6082
punti
Livello 2
