ROLLE

Problema:

Stabilisci se alla seguente funzione è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo indicato e, in caso affermativo determina i punti c di cui il teorema garantisce l'esistenza.

$f(x)=e^{2x}-3e^x+2$, [$0$,$\ln 2$]

Soluzione:

Il teorema di Rolle afferma che se la funzione f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) tale che $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

Nel caso in questone si ha che [a,b]=[$0$,$\ln 2$], quindi è necessario verificare che la funzione sia continua in questo intervallo e derivabile nel medesimo intervallo aperto.

$f(x)$ è continua per $\forall x \in \mathbb{R}$ poiché formata da esponenziali, anche la sua derivata $f'(x)=2e^{2x}-3e^x$ è continua in $\mathbb{R}$ per il medesimo motivo. 

Ora è necessario verificare che $f(a)=f(b)$:

$f(0)=0, f(\ln 2)=0$. Il teorema di Rolle è dunque applicabile alla funzione data ed esiste un punto $c$ appartenente all'intervallo tale che $f'(c)=0$:

$f'(x)=2e^{2x}-3e^x=0$

$e^x=t$

$2t²-3t=0$

$t(2t-3)=0$

$t=e^x=0$ non ammette soluzione.

$2t-3=2e^x-3=0$

$e^x=\frac{3}{2}$

$x=\ln (\frac{3}{2})=c$.

Verifichiamo le ipotesi:

• La funzione f(x) è definita in [0, ln(2)]
• La funzione f(x) è continua in [0, ln(2)]
• La funzione f(x) è derivabile in (0, ln(2))
  • • $f'(x) = e^x(2e^x-3)$
• f(0) = f(ln(2)). Infatti
  • • f(0) = 0
    • f(ln2) = 4 -3*2 + 2 = 0 

Per Rolle, esiste almeno un numero c∈(0, ln(2)) tale che

f'(c) = 0

$ e^c(2e^c-3) = 0 $

Il fattore $e^c$ è positivo quindi l'unica possibilità è che

$ 2e^c-3 = 0 $

$ e^c = \frac{3}{2} $ 

applichiamo il logaritmo ad ambo i membri ricordando che la funzione log ha come inversa l'esponenziale, e viceversa.

$ c = ln (\frac{3}{2}) $