[Risolto] ROLLE

Problema:

Stabilisci se alla seguente funzione è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo indicato e, in caso affermativo determina i punti c di cui il teorema garantisce l'esistenza.

$f(x)=\sin 2x$, [$0$,$\frac{π}{2}$]

Soluzione:

Il teorema di Rolle afferma che se la funzione f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) tale che $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

Nel caso in questone si ha che [a,b]=[$0$,$\frac{π}{2}$], quindi è necessario verificare che la funzione sia continua in questo intervallo e derivabile nel medesimo intervallo aperto.

$f(x)$ è continua per $\forall x \in \mathbb{R}$ poiché periodica e continua in [0,2π], anche la sua derivata $f'(x)=2 \cos 2x$ è continua in $\mathbb{R}$ per il medesimo motivo. 

Ora è necessario verificare che $f(a)=f(b)$:

$f(0)=0, f(\frac{π}{2})=0$. Il teorema di Rolle è dunque applicabile alla funzione data ed esiste un punto $c$ appartenente all'intervallo tale che $f'(c)=0$:

$f'(x)=2 \cos 2x=0$

$x=\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}, k\in \mathbb{Z}$.

Un valore adatto per l'intervallo in questione è $k=0$ e quindi $x=\frac{π}{4}$.