Buona sera
So che R^n e R non possono essere tra loro omeomorfi, nel caso n>=2, per via delle proprietà tipologiche, ma come posso dimostrarlo rigorosamente? Usando ad esempio il teorema principale dei connessi.
Ringrazio chi mi può aiutare
Buona sera
So che R^n e R non possono essere tra loro omeomorfi, nel caso n>=2, per via delle proprietà tipologiche, ma come posso dimostrarlo rigorosamente? Usando ad esempio il teorema principale dei connessi.
Ringrazio chi mi può aiutare
Supponiamo che esista un omeomorfismo tra $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^n \mid n \geq 2\,$:
\[f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n\,,\]
dove $f$ è una funzione continua, biiettiva e inversa continua nel campo algebrico dei reali.
Secondo la proprietà dei reali, $\mathbb{R}$ è connesso per archi e può essere visto come una linea continua senza ramificazioni. Inoltre $p \in \mathbb{R} - \{p\}$ è formato da due componenti connesse disgiunte $(-\infty, p)$ e $(p, +\infty)\,$.
$\mathbb{R}^2$ per $n \geq 2$ ha una proprietà topologica differente in quanto $\mathbb{R}^n - \{p\}$ è uno spazio connesso per archi.
Dunque se $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ fosse un omeomorfismo, $f(\mathbb{R})$ avrebbe le proprietà topologiche di $\mathbb{R}\,$; ergo si ha una contraddizione poiché l'immagine di un aperto connesso per archi come $\mathbb{R}$ sotto un omeomorfismo dovrebbe avere la stessa proprietà di diventare disconnessa dopo la rimozione di un singolo punto.
Inoltre, il Teorema dell'Invarianza del Dominio implica che due spazi omeomorfi debbano avere la stessa dimensione topologica. Poiché $\mathbb{R}$ ha dimensione topologica $1$ e $\mathbb{R}^2$ ha dimensione $n \geq 2\,$, non possono essere omeomorfi.
Problema:
Dimostra che $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^n$ non sono omeomorfi quando $n≥2$.
Soluzione: (ATTENDERE CONFERMA)
Ti rispondo da studentessa che ha appena finito le superiori ma ha approfondito per conto suo alcuni argomenti universitari, dunque è opportuno attendere conferma di ciò che ho scritto.
Per dimostrare ciò rigorosamente partirei dal suppore che ci sia un omeomorfismo $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ per $n \geq 2 $. Dal fatto che $f$ è un omeomorfismo è possibile dedurre che le proprietà topologiche di $\mathbb{R}$ sarebbero trasferite a $\mathbb{R}^n$.
Poiché $\mathbb{R}^n$ per $n \geq 2$ è connesso per archi, è possibile descrivere questa connessione con una curva continua. Però l'unico modo per connettere due punti in $\mathbb{R}$ con una curva è lungo la retta.
Se si avesse un omeomorfismo tra $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$, e quindi per qualsiasi $n \geq 2$, sarebbe possibile affermare che anche $\mathbb{R}^2$ sarebbe connesso in modo simile a $\mathbb{R}$. Ma dato che $\mathbb{R}^2$ contiene insiemi aperti non connessi, si contraddice la proprietà di connessione di $\mathbb{R}$. Si ha dunque che
$\mathbb{R}^n \not \cong \mathbb{R} \quad \text{per } n \geq 2$