Scrivi l'equazione della circonferenza con il diametro di estremi A (1; 1) e B(3; 5) e della parabola con asse parallelo all'asse y passante per A e con vertice in B. Trova l'ulteriore punto C di intersezione fra la circonferenza e la parabola e verifica che in tale punto le due curve hanno la stessa tangente t: y = -2x + 12
2
punti
Livello 0
Equazione circonferenza.
Centro :
{x = (1 + 3)/2
{y = (1 + 5)/2
(2,3)
Raggio:
r = 1/2·√((3 - 1)^2 + (5 - 1)^2)---> r = √5
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = √5^2
anche: x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 8 = 0
Equazione parabola:
{- b/(2·a) = 3 asse: ascissa del vertice B
{1 = a·1^2 + b·1 + c (passa per A)
{5 = a·3^2 + b·3 + c (passa per B)
Quindi risolvo:
{b/a = -6
{a + b + c = 1
{9·a + 3·b + c = 5
ed ottengo: [a = -1 ∧ b = 6 ∧ c = -4]
quindi: y = - x^2 + 6·x - 4
Metto a sistema:
{y = - x^2 + 6·x - 4
{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 8 = 0
procedo per sostituzione:
x^2 + (- x^2 + 6·x - 4)^2 - 4·x - 6·(- x^2 + 6·x - 4) + 8 = 0
ottengo:
x^4 - 12·x^3 + 51·x^2 - 88·x + 48 = 0
fattorizzo:
(x - 1)·(x - 3)·(x - 4)^2 = 0
x = 4 ∨ x = 3 ∨ x = 1
quindi due radici che si sapevano già e cioè le ultime due, mentre la prima radice doppia cioè x=4 che indica che i due luoghi geometrici sono tangenti nel punto:
C(4,4) e quindi hanno la stessa retta tangente
Con formule di sdoppiamento:
(y + 4)/2 = - 4·x + 6·(x + 4)/2 - 4
y = 12 - 2·x
4·x + 4·y - 4·(x + 4)/2 - 6·(y + 4)/2 + 8 = 0
y = 12 - 2·x
90142
punti
Genius II
Circonferenza
centro K = ((1+3)/2, (1+5)/2) = (2,3)
raggio r = 1/2 * sqrt ((3-1)^2 + (5 - 1)^2) = 1/2 * sqrt (20) = sqrt(5)
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - 5 = 0
x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0
parabola
y - 5 = a (x - 3)^2 condizione sul vertice
1 - 5 = a (1 - 3)^2
-4 = 4a
a = -1
y = 5 - (x - 3)^2 = - x^2 + 6x - 4
https://www.desmos.com/calculator/0cx2kxt4fk
Per la seconda parte, scritta la risolvente
x^2 + (-x^2 + 6x - 4)^2 - 4x - 6(-x^2 + 6x - 4) + 8 = 0
in forma normale, si deve verificare che 3 é una radice ed applicare la
regola di Ruffini.
45536
punti
Livello 7
