Risolvi le seguenti equazioni…riuscite ad aiutarmi? Non necessariamente tutte

EX. 297

Anziché l'equazione:

3·SIN(x)^2 - SIN(x)·COS(x) - 2 = 0

scrivo

3·SIN(α)^2 - SIN(α)·COS(α) - 2 = 0

senza togliere nulla al problema, ma consentendo di utilizzare x ed y per ricorrere alla circonferenza goniometrica. Precisamente pongo:

y = SIN(α) e x = COS(α)

e quindi risolvendo il sistema:

{3·y^2 - y·x - 2 = 0

{x^2 + y^2 = 1

Quindi procedo con la sostituzione:

x = (3·y^2 - 2)/y

ed inserendola nella seconda:

((3·y^2 - 2)/y)^2 + y^2 = 1

(9·y^2 + 4/y^2 - 12) + y^2 - 1 = 0

arrivo quindi a scrivere:

(2·y^2 - 1)·(5·y^2 - 4)/y^2 = 0------> con y ≠ 0

(2·y^2 - 1)·(5·y^2 - 4) = 0

che portano a 4 radici in y:

y = - 2·√5/5 ∨ y = 2·√5/5 ∨ y = - √2/2 ∨ y = √2/2

sostituendo tali valori nelle espressioni in x si arriva alla soluzione del sistema:

1 )  x = √2/2 ∧ y = - √2/2

2)   x = - √2/2 ∧ y = √2/2

3)   x = √5/5 ∧ y = 2·√5/5

4)   x = - √5/5 ∧ y = - 2·√5/5

Tenendo presente le posizioni fatte si perviene alla conclusione:

tramite la 1) e la 2) α = 3/4·pi + k·pi   (angoli del 2° e 4° quadrante)

tramite la 3) e la 4) α = ATAN(2) + k·pi  (angoli del 1° e del 3° quadrante)

(osserva che il rapporto tra y/x ti fornisce la TAN(α) = 2 )

Le equazioni (294 - 298) che s'intravedono nella pessima foto sono tutt'e cinque riducibili alla forma canonica
* a*sin^2(x) + b*sin(x)*cos(x) + c*cos^2(x) + d = 0
da cui
* (c - a)*cos(2*x) + b*sin(2*x) + a + c + 2*d = 0
con
* A = (a - c)/(a + c + 2*d)
* B = - b/(a + c + 2*d)
* u = 2*x
* A^2 + B^2 > 0
* 0 <= u < 2*π
si riduce a
* (A*cos(u) + B*sin(u) = 1) & (A^2 + B^2 > 0) & (0 <= u < 2*π)
che puoi risolvere da te applicando il
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METODO DELL'ANGOLO AGGIUNTO (i simboli non c'entrano con quelli sopra)
* a*sin(x) + b*cos(x) = c ≡
≡ (a/√(a^2 + b^2))*sin(x) + (b/√(a^2 + b^2))*cos(x) = c/√(a^2 + b^2) ≡
≡ A*sin(x) + B*cos(x) = C
così, ovviamente, si ha
* A^2 + B^2 = (a/√(a^2 + b^2))^2 + (b/√(a^2 + b^2))^2 = 1
* (A*sin(x) + B*cos(x) = C) & (A^2 + B^2 = 1) ≡
≡ (cos(k)*sin(x) + sin(k)*cos(x) = C) & (cos^2(k) + sin^2(k) = 1) ≡
≡ (sin(x + k) = C) & (Vero) ≡
≡ sin(x + k) = C
e questa è un'equazione elementare dove
* C = c/√(a^2 + b^2)
* k = arctg(b/a)

Indicane una. Mica possiamo stare delle ore a risolverle.

EX.298

{10·y^2 + 2·√3·y·x + 4·x^2 - 7 = 0

{x^2 + y^2 = 1

Procedendo come ho svolto sopra. Poi..

{10·y^2 + 2·√3·y·x + 4·x^2 - 7 = 0

{4·x^2 + 4·y^2 = 4

----------------------------(sottraggo)

2·√3·x·y + 6·y^2 - 3 = 0

quindi: x = √3·(1 - 2·y^2)/(2·y)

per sostituzione:

4·(√3·(1 - 2·y^2)/(2·y))^2 + 4·y^2 = 4

3·(2·y^2 - 1)^2/y^2 + 4·y^2 - 4 = 0

arrivi quindi a scrivere:

(2·y + 1)·(2·y - 1)·(4·y^2 - 3)/y^2 = 0

posto: y ≠ 0

hai: (2·y + 1)·(2·y - 1)·(4·y^2 - 3) = 0

che fornisce 4 soluzioni in y:

y = - √3/2 ∨ y = √3/2 ∨ y = - 1/2 ∨ y = 1/2

In definitiva soluzione del sistema:

x = 1/2 ∧ y = - √3/2

x = - 1/2 ∧ y = √3/2

x = √3/2 ∧ y = 1/2

x = - √3/2 ∧ y = - 1/2

che comportano 4 punti sulla circonferenza goniometrica:

e quindi le soluzioni generalizzate:

α = pi/6 + k·pi   e  α = - pi/3 + k·pi