[Risolto] Risolvi le seguenti equazioni di II grado complete

La risoluzione delle equazioni di secondo grado si svolge in due fasi (e mezza): prima la riduzione della forma data a forma normale canonica monica (mezza fase: se la forma ottenuta è pura, spuria o degenere la si risolve come tale); poi, se è completa, l'applicazione della procedura risolutiva che Bramegupta pubblicò già nel VII secolo.
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A) La prima fase consiste dei seguenti passi, da applicare se necessario.
Sottrarre membro a membro il secondo membro; sviluppare; commutare; ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore; [qui l'eventuale mezza fase]; se completa, ottenere la forma
* x^2 - s*x + p = 0
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Per le equazioni della foto
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A1) - x^2 + 4*x - 7 = 0 ≡ x^2 - 4*x + 7 = 0
A2) x^2 - 3*x + 6 = 0 [è già ben ridotta]
A3) x^2 - 4*x + 9 = 0 [è già ben ridotta]
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A4) (2*x - 1)*(4 - x) - 11*x = (1 - x)^2 ≡
≡ (2*x - 1)*(4 - x) - 11*x - (1 - x)^2 = 0 ≡
≡ - 2*x^2 + 9*x - 4 - 11*x - (x^2 - 2*x + 1) = 0 ≡
≡ - 2*x^2 + 9*x - 4 - 11*x - x^2 + 2*x - 1 = 0 ≡
≡ - 2*x^2 - x^2 + 9*x - 11*x + 2*x - 4 - 1 = 0 ≡
≡ - 3*x^2 - 5 = 0 ≡
≡ x^2 + 5/3 = 0 ≡ [non è completa, si applica la mezza fase.]
≡ x = ± i*√(5/3)
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B) La procedura di Bramegupta trasforma l'equazione completa di grado due nell'unione di due equazioni di grado uno; consiste dei seguenti passi, da applicare tutti.
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B1) Completare il quadrato dei termini variabili e poi riscrivere il termine noto come opposto di un quadrato.
* x^2 - 4*x + 7 = 0 ≡ (x - 2)^2 - 4 + 7 = 0 ≡ (x - 2)^2 - (i*√3)^2 = 0
* x^2 - 3*x + 6 = 0 ≡ (x - 3/2)^2 - 9/4 + 6 = 0 ≡ (x - 3/2)^2 - (i*√15/2)^2
* x^2 - 4*x + 9 = 0 ≡ (x - 2)^2 - 4 + 9 = 0 ≡ (x - 2)^2 - (i*√5)^2 = 0
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B2) Applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati" e poi la legge d'annullamento del prodotto.
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* (x - 2)^2 - (i*√3)^2 = 0 ≡
≡ (x - 2 + i*√3)*(x - 2 - i*√3) = 0 ≡
≡ (x - 2 + i*√3 = 0) oppure (x - 2 - i*√3 = 0)
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* (x - 3/2)^2 - (i*√15/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - 3/2 + i*√15/2)*(x - 3/2 - i*√15/2) = 0 ≡
≡ (x - 3/2 + i*√15/2 = 0) oppure (x - 3/2 - i*√15/2 = 0)
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* (x - 2)^2 - (i*√5)^2 = 0 ≡
≡ (x - 2 + i*√5)*(x - 2 - i*√5) = 0 ≡
≡ (x - 2 + i*√5 = 0) oppure (x - 2 - i*√5 = 0)
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B3) Distinguere le radici.
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* (x - 2 + i*√3 = 0) oppure (x - 2 - i*√3 = 0) ≡
≡ (x = 2 - i*√3) oppure (x = 2 + i*√3)
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* (x - 3/2 + i*√15/2 = 0) oppure (x - 3/2 - i*√15/2 = 0) ≡
≡ (x = 3/2 - i*√15/2) oppure (x = 3/2 + i*√15/2)
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* (x - 2 + i*√5 = 0) oppure (x - 2 - i*√5 = 0) ≡
≡ (x = 2 - i*√5) oppure (x = 2 + i*√5)

Ciao!

Usiamo la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado: 

Data un'equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$, le soluzioni sono

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{4a}$

dove $\Delta = b^2-4ac$.

Se $\Delta > 0 $ ci sono due soluzioni, Se $\Delta = 0$ le due soluzioni sono coincidenti (quindi troviamo un solo valore), se $\Delta < 0 $ non vi sono soluzioni quindi l'equazione è impossibile.

1) $-x^2+4x-7 = 0 $

Calcoliamo il Delta : $\Delta = 4^2-4(-1)(-7) = 16 - 28 < 0 $ quindi l'equazione è impossibile

2) $x^2-3x+6 = 0 $

Calcoliamo il Delta: $\Delta = (-3)^2-4(1)(6) = 9 - 24 < 0 $ quindi l'equazione è impossibile

3) $x^2 -4x+9 = 0 $

Calcoliamo il Delta: $\Delta = (-4)^2-4(1)(9) = 16-36 < 0 $ quindi l'equazione è impossibile

4) $(2x-1)(4-x)-11x = (1-x)^2 $ 

Svolgiamo i calcoli:

$8x-2x^2-4+x-11x = 1+x^2-2x $

$-3x^2 -4x -5 = 0 $

Cambiamo il segno:

$3x^2+4x+5 = 0$

Calcoliamo il Delta: $\Delta = 4^2-4(3)(5) = 16- 60 < 0$ quindi l'equazione è impossibile.