Risolvi il sistema parametrico, numero 431

@andrea_007

Probabilmente ti sei sbagliato e hai messo lo stesso esercizio di qualche giorno fa.

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/risolvi-graficamente-il-sistema-parametrico-al-variare-di-l-in-r/

Il sistema
431) (x^2 + y^2 - 6*x - 4*y = 0) & ((k + 1)*x + 8*k*y - 6*k + 2 = 0)
chiede i punti comuni fra la circonferenza fissa
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 6*x - 4*y = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = (√13)^2
di centro C(3, 2) e raggio r = √13, e il fascio di rette
* r(k) ≡ (k + 1)*x + 8*k*y - 6*k + 2 = 0 ≡
≡ (r(0) ≡ x = - 2) oppure (r(k != 0) ≡ y = (3*k - 1)/(4*k) - ((k + 1)/(8*k))*x)
con
* centro S(- 2, 1)
* pendenza m(k) = - (k + 1)/(8*k)
* intercetta q = (3*k - 1)/(4*k)
---------------
Numero e qualità delle soluzioni del sistema di trovano stabilendo gl'intervalli dei valori reali di k per cui r(k) risulti esterna, tangente, secante Γ. Ciò dipende, ovviamente, dal segno del discriminante dell'equazione risolvente di
* (y = (3*k - 1)/(4*k) - ((k + 1)/(8*k))*x)) & ((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 13)
dal momento che r(0), a distanza 5 > √13 da C, è certamente esterna a Γ.
---------------
RISOLVENTE
* (x - 3)^2 + ((3*k - 1)/(4*k) - ((k + 1)/(8*k))*x) - 2)^2 - 13 = 0 ≡
≡ x^2 - ((49*k + 1)/(8*k))*x - (29*k + 1)/(4*k) = 0
--------
DISCRIMINANTE
* Δ(k) = (33*k + 1)*(129*k + 1)/(64*k^2)
--------
SGN[Δ(k)]
* sgn[Δ(k)] = sgn[(k + 1/33)*(k + 1/129)]
* (k + 1/33)*(k + 1/129) < 0 ≡ - 1/33 < k < - 1/129
* (k + 1/33)*(k + 1/129) = 0 ≡ (k = - 1/33) oppure (k = - 1/129)
* (k + 1/33)*(k + 1/129) > 0 ≡ (k < - 1/33) oppure (k > - 1/129)
---------------
CONCLUSIONI
* per k < - 1/33, r(k) è secante Γ.
* per k = - 1/33, r(k) è tangente Γ.
* per - 1/33 < k < - 1/129, r(k) è esterna a Γ.
* per k = - 1/129, r(k) è tangente Γ.
* per k > - 1/129, r(k) è secante Γ.