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Livello 0
Magari riuscissi a leggerlo il sistema, da una foto gigantesca, sgranata e di traverso!
Le mie vertebre cervicali hanno quasi 83 anni e sono un po' rigide; il mio browser apre le immagini, ma non le ruota: perciò non riesco leggere il tuo allegato messo di traverso e, anche se ci riuscissi, non mi entrerebbe nello schermo.
Provo a vedere se ci riesco con qualche altro software.
VOI NATIVI DIGITALI NON RIUSCITE PROPRIO AD ALLEGARE UNA FOTO DECENTE?
* ripresa di fronte e non di sbieco
* col foglio piatto e non incurvato
* illuminata uniformemente senza riflessi e zone più o meno scure
* inquadrando il solo esercizio d'interesse e non tutto il foglio
* allegata per dritto e non di traverso
* e, soprattutto, LEGGIBILE e CAPIBILE a prima vista: io non devo né manipolare l'immagine né chiederti quale sia la cosa che t'interessa.
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Genius I
I calcoli sono un pò lunghi - questo lo sai.
{ y = sqrt (4x - x^2)
{ x - ky - k + 1 = 0
{ 0 <= x <= 3
Sul piano cartesiano la prima equazione rappresenta la parte superiore
di una circonferenza, la seconda un fascio proprio di rette, la terza
condizione descrive una striscia verticale tra le due rette di equazione
x = 0 e x = 3.
Per cominciare, determiniamo centro e raggio della circonferenza per
procedere al disegno.
Quadrando
y^2 = 4x - x^2
x^2 + y^2 - 4x = 0
x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4
(x - 2)^2 + y^2 = 2^2
il centro é C = (2;0) e il raggio misura r = 2.
Le intersezioni con l'asse x si trovano nei punti A = (0,0) e B = (4,0)
e con la retta x = 3 si trova nel punto Q = (3; sqrt(4*3-3^2)) = (3; sqrt(3)).
Passiamo al fascio di rette, che riscriviamo come
x + 1 + k(-y-1) = 0
le generatrici sono
k = 0 => x + 1 = 0 => x = -1
k -> oo => -y - 1 = 0 => y = -1
e il centro risulta K = (-1,-1).
Allego il disegno e rimando a più tardi lo svolgimento della seconda parte della
discussione.
https://www.desmos.com/calculator/otpaglhghp
Seconda parte :
per identificare il verso delle k crescenti e distinguere i vari
intervalli, dobbiamo calcolare kA, kB, kQ, kt.
Prendo x + 1 + k(-y-1) = 0
e impongo il passaggio
per A)
0 + 1 + k (0 - 1 ) = 0
1 - k = 0 => kA = 1
e questo é sufficiente, tramite confronto con la posizione delle
generatrici che sono parallele agli assi coordinati, che il verso
delle k crescenti é quello orario.
Per B)
4 + 1 + k*(0 - 1) = 0
5 - k = 0 => kB = 5
A questo non si deve arrivare, estendendosi l'arco utile soltanto
fino a Q.
Per Q)
3 - k sqrt(3) - k + 1 = 0
k(1 + sqrt(3)) = 4
kQ = 2*2/(sqrt(3) + 1) = 2(sqrt(3) - 1)
e infine il valore di k che corrisponde alla tangente all'arco utile
é che la sua distanza da C = (2,0) sia d = r = 2
|xC - kt yC - kt + 1|/sqrt(1 + kt^2) = 2
|2 - 0 - k + 1|/sqrt(1 + k^2) = 2
2 sqrt(1+k^2) = |3-k|
4(k^2 + 1) = 9 - 6k + k^2
4k^2 - k^2 + 6k + 4 - 9 = 0
3k^2 + 6k - 5 = 0 con 0 < k < 1
e prendendo solo la radice positiva
kt = (-3+sqrt(9+15))/3 = (sqrt(24) - 3)/3 = 2/3 sqrt(6) - 1
e la tangente é rappresentata nel grafico dalla retta viola.
Ora abbiamo un quadro completo e sei in grado di trarre le conclusioni.
Ti invito a mettere ordine da sola nella terza parte; intervengo più
tardi se hai difficoltà.
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Livello 7
Ciao di nuovo. Innanzitutto una tiratina di orecchie! Ormai dovresti aver capito quale filosofia anima questo gruppo. Sai che c'è un regolamento che ci dovremmo attenere. Almeno una foto dritta.
OK!
Interpreto il sistema come intersezione tra una semicirconferenza centrata in C(2,0) e di raggio r=2 che è la prima equazione. Come seconda equazione rilevo un fascio di rette dato con equazione implicita di centro proprio P(-1,-1). La terza condizione mi chiede quante soluzioni fornisce il sistema, al variare di k, nell'intervallo ]0;3] della x: quindi non devi considerare x=0 ma valori superiori.
Con riferimento alla figura allegata hai:
1 sola soluzione facendo ruotare la retta dalla posizione A alla posizione B (x=0 non si considera) a cui corrisponderanno gli estremi della soluzione in k date dal testo
2 soluzioni facendo ruotare la retta dalla posizione B alla posizione D.
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Genius II