Risolvere funzione e tutto il suo studio fino alla derivata seconda

Questa foto sembra proprio presa in classe...magari durante una verifica? Se così fosse, si avverte l'autore che questo si configura come truffa e c'è il penale...

Saluti

@alexama12

Ti risponderò più tardi.

Ciao. Ti invio ora il disegno della funzione (in verde) in nero gli asintoti : due verticali ed uno obliquo. Adesso faccio una pennichella . Nel pomeriggio spero di risponderti per quanto mi hai richiesto.

y = x^3/(x^2 - 4)

funzione razionale fratta. Particolarità: DISPARI perché numeratore dispari (grado 3 unico monomio) e denominatore pari (2 monomi di grado pari). Inoltre:

y = (-x)^3/((-x)^2 - 4)-----> y = x^3/(4 - x^2)

quindi f(-x)=-f(x)

C.E. : ]-inf;-2[U]-2;2[U]2;+inf[

x^2 - 4 ≠ 0------> (x + 2)·(x - 2) ≠ 0-----> x ≠ -2 ∧ x ≠ 2

Intersezioni con gli assi:

Con x

{y = x^3/(x^2 - 4)

{y = 0

[x = 0 ∧ y = 0]

Quindi l'unica intersezione con gli assi è l'origine. (che appartiene contemporaneamente ai due)

Segno funzione:

N(x):

----------------[0]+++++++++>x

D(x):

++++(-2)-----------(2)++++++>x

Segno rapporto:

-------(-2)+++[0]---(2)+++++++>x

y > 0 :    -2 < x < 0 ∨ x > 2

y<0 :      x < -2 ∨ 0 < x < 2

y=0: x = 0 (già detto)

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM(x^3/(x^2 - 4)) = -∞

x---> -∞

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LIM(x^3/(x^2 - 4)) = -∞

x---> -2-

------------------------------

LIM(x^3/(x^2 - 4))= +∞

x---> -2+

-----------------------------

LIM(x^3/(x^2 - 4)) = -∞

x---> 2-

----------------------------

LIM(x^3/(x^2 - 4))= +∞

x---> 2+

---------------------------

LIM(x^3/(x^2 - 4)= +∞

x----> +∞, 1)

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Derivata prima e seconda. Ti do i risultati:

y' = x^2·(x^2 - 12)/(x^2 - 4)^2

y'' = 8·x·(x^2 + 12)/(x^2 - 4)^3

PRELIMINARI
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1) Benvenuta fra noi!
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2) Mi ti rivolgo col femminile di cortesia perché hai uno pseudonimo asessuato (@mg : non è maschilismo, è un residuo di buona educazione infantile assorbita negli anni '40!).
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3) Le funzioni non si risolvono, non essendo equazioni o problemi o enigmi: sono funzioni.
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4) Inviare la foto di un banco scolastico alle 8:42 è un po' azzardato, non trovi?
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5) Chiedere questo tipo d'intervento in orario scolastico è reato: lo sapevi?
Il 25 marzo 2021, nel corso dell'operazione «110 e frode», la Guardia di Finanza di Genova ha ARRESTATO un Professore e denunciato VENTIDUE studenti che stavano facendo proprio quello che tu stai chiedendo.
Loro erano tutti maggiorenni, ma tu lo sei?
Magari fai denunciare i tuoi genitori!
Io, per prudenza, inizio a scrivere un paio d'ore dopo la pubblicazione.
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ESERCIZIO
"Risolvere" la funzione
* f(x) = y = x^3/(x^2 - 4)
e tutto il suo studio fino alla derivata seconda
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La funzione f(x) è definita per x != ± 2, valori che annullerebbero il denominatore.
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Il suo grafico interseca gli assi in O(0, 0) e in Y(0, - 1/4).
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Il suo segno, come quello di ogni funzione fratta f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0, si decide sulla distinzione di casi
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
che per questa f(x) vuol dire
a) f(x) < 0 ≡ (x < - 2) oppure (0 < x < 2)
b) f(x) = 0 ≡ (x = 0)
c) f(x) > 0 ≡ (- 2 < x < 0) oppure (x > 2)
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I suoi limiti notevoli sono
* lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞
* lim_(x → (- 2)-) x^3/(x^2 - 4) = - ∞
* lim_(x → (- 2)+) x^3/(x^2 - 4) = + ∞
* lim_(x → (+ 2)-) x^3/(x^2 - 4) = - ∞
* lim_(x → (+ 2)+) x^3/(x^2 - 4) = + ∞
* lim_(x → + ∞) f(x) = + ∞
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Il suo grafico ha un solo asintoto nella diagonale dei quadranti dispari, y = x.
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Per individuare e classificare i punti critici si calcolano le due prime derivate
* f'(x) = (x^2 - 12)*x^2/(x^2 - 4)^2
* f''(x) = 8*(x^2 + 12)*x/(x^2 - 4)^3
e i loro zeri
* f'(x) = 0 ≡ x in {- 2*√3, 0, 2*√3}
* f''(x) = 0 ≡ x = 0
poi, sugli zeri di f'(x), si valuta il segno di f''(x)
* f''(- 2*√3) = - (3/4)*√3 < 0
* f''(0) = 0
* f''(2*√3) = (3/4)*√3 > 0
e infine si classificano i risultati compilando la tabellina
* (f'(x) ≠ 0) & (f''(x) ≠ 0) ≡ punto non critico
* (f'(x) ≠ 0) & (f''(x) = 0) ≡ flesso a tangente obliqua
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) ≡ massimo relativo
* (f'(x) = 0) & (f''(x) = 0) ≡ flesso a tangente orizzontale
* (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) ≡ minimo relativo