Risoluzione problema trapezio rettangolo

Un quadrilatero è circoscrivibile se la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due lati opposti;

AB + CD = AD + BC;

CH = AD; altezza è uguale al diametro della circonferenza inscritta.

CH + BC = Perimetro / 2

Perimetro = 5 * radice(20) unità;

AB + CD = Perimetro / 2;

AB + CD = 5 radice(20) / 2 = 5 radice(20 / 4);

AB + CD = 5 radice(5) ; (somma delle due basi);

CH + BC = 5 radice(5); somma  di altezza e lato obliquo;

BC = 5 radice(5) - CH;

angolo in B = 54°= (π * 3/10) rad

nel triangolo rettangolo CHB, BC è l'ipotenusa, CH è il cateto opposto

sen(54°) = CH / BC;

sen54° = CH / [5 radice(5) - CH];

sen54° = [radice(5) + 1] / 4;   

[radice(5) + 1] / 4 = CH / [5 radice(5) - CH];

[radice(5) + 1] / 4 * [5 radice(5) - CH] = CH;

[radice(5) + 1] * [5 radice(5) - CH] = 4 * CH;

5 * 5 - CH radice(5) + 5 radice(5) - CH = 4 CH;

25 + 5 radice(5)  = 4 CH + CH +  CH radice(5) ;

5 CH + CH radice(5) = 25 + 5 radice(5);

CH [5 + radice(5)] = 5 * [5 + radice(5)];

CH = 5 * [5 + radice(5)] / [5 + radice(5)] = 5 unità; altezza del trapezio;

BC = 5 radice(5) - 5 = 5 * [radice(5) - 1]; (lato obliquo BC  = 6,18  unità, approssimato);

Area = (AB + CD) * h / 2;

Area = 5 radice(5) * 5 / 2 = 25 radice(5) / 2  unità^2;

(Area = 27,95 unità^2; approssimata).

Ciao  @maxy717

https://www.youmath.it/formulari/65-formulari-di-trigonometria-logaritmi-esponenziali/146-valori-notevoli-delle-funzioni-trigonometriche-tabella.html

qui ci sono i valori del seno degli angoli notevoli; sen18° = sen(π/10) ; 54° = 18° * 3 = (π * 3/10)

sen54° = [radice(5) + 1] / 4; 

Io uso anche la calcolatrice per fare prima.....

( sen54° = 0,809, facendo i calcoli approssimati);

0,809 = CH / [5 radice(5) - CH];

0,809 * [5 radice(5) - CH] = CH;

9,045 - 0,809 CH = CH;

CH + 0,809 CH = 9,045;

1,809 CH = 9,045;

CH = 9,045 / 1,809 = 5 unità; altezza del trapezio;

BC = 5 radice(5) - 5 = 5 * [radice(5) - 1]; lato obliquo BC  = 6,18  unità;

Area = (AB + CD) * h / 2;

Area = 5 radice(5) * 5 / 2 = 25 radice(5) / 2  unità^2;

Area = 27,95 unità^2.

Un trapezio rettangolo ABCD, circoscritto ad una circonferenza, ha gli angoli retti in A ed in D e l’angolo acuto in B è di 54°. Sapendo che il perimetro è 5√20, calcola l’area e la lunghezza del lato obliquo BC.

somma basi = lato obliquo + altezza = 5/2√20 = 5√5 cm

altezza = lato obliquo*sin 54°

lato obliquo+altezza = lato obliquo(1+sin 54°) = lato obliquo * 1,8090 = 5√5

lato obliquo BC = 5√5/1,8090 = 6,18 cm

altezza = diametro = 5√5-6,18 = 11,18-6,18 = 5,00 cm

Area = 5√5*5/2 = 12,5√5 cm^2 (28,0 con 3 cifre significative)