[Risolto] Risoluzione problema fasci di parabole

I fasci del titolo hanno la tracotanza di assentarsi dal testo.
La direttrice
* d ≡ y + 5 = 0 ≡ y = - 5
parallela all'asse x vuol dire asse di simmetria
* x = - 4
parallelo all'asse y, all'ascissa del fuoco F(- 4, - 3) e del vertice V(- 4, - 4) che ha ordinata media fra F e d
* yV = (yd + yF)/2
Quindi l'equazione della parabola Γ richiesta ha la forma, in funzione del vertice e dell'apertura a,
* Γ ≡ y = a*(x + 4)^2 - 4
l'apertura si determina dalla definizione di distanza focale
* f = |VF| = |Vd| = 1 = 1/(4*|a|) ≡ |a| = 1/4
e dall'osservazione che yV < yF implica concavità verso y > 0, quindi a > 0; perciò
* Γ ≡ y = (x + 4)^2/4 - 4 ≡
≡ x^2 + 8*x - 4*y = 0
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Dalla forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + 8*x - 4*y = 0
per sdoppiamento rispetto al polo D(- 5/2, - 5) si ottiene la polare
* p ≡ x*(- 5/2) + 8*(x - 5/2)/2 - 4*(y - 5)/2 = 0 ≡ y = 3*x/4
che passa per F(- 4, - 3) e interseca Γ
* (y = 3*x/4) & (y = (x + 4)^2/4 - 4) ≡
≡ P(- 5, - 15/4) oppure Q(0, 0)
nei punti di tangenza (ciò completa la consegna b: PFQ su p).
Per soddisfare alla consegna a basta tirare le congiungenti
* DP ≡ y = - x/2 - 25/4, di pendenza m = - 1/2
* DQ ≡ y = 2*x, di pendenza m' = - 1/m = 2
ortogonali, ovviamente (proprietà caratteristica della direttrice).
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x%2F2-25%2F4%2Cy%3D2*x%2Cx%5E2-4*y%3D-8*x%5Dx%3D-20to20%2Cy%3D-15to25