Risoluzione prima equazione

Si scompone una differenza di quadrati

4x^2 - (x + 5)^2 = 0

[2x - (x + 5)] [ 2x + x + 5 ] = 0

(x - 5)(3x + 5) = 0

x - 5 = 0 => x = 5

3x + 5 = 0 => x = -5/3

@amcast 

Da cui si ricava:

X1= 5

X2= - 5/3

4x^2=(x+5)^2

Hai fatto bene.

4x^2=x^2 + 25 + 10x

4x^2 - x^2 - 10x - 25 = 0

3x^2 - 10x - 25 = 0;

Formula risolutiva:

x = [- b +- radice(b^2 - 4ac)] / (2 a);

Formula ridotta se b è pari:

x = [- b/2 +- radice((b/2)^2 - ac)] / (a);

b = 10; b/2 = 5;

x = [ 5 +- radice(25 + 3 * 25)] / 3;

x = [+ 5 +- rad(100)] / 3;

x = [+ 5 +-10] / 3;

x1 = [+ 5 + 10] / 3 = 15/3 = 5;

x2 = [+ 5 - 10] /3 = - 5/3 ;

(x - 5) * ( x + 5/3) = 0;

x^2 - 10/3 x - 25/3  = (x - 5) * ( x + 5/3);

 (x - 5) * ( x + 5/3) =

 x^2 - 5x + 5/3 x - 25/3 = x^2 - 10/3 x - 25/3; 

x^2 + b x + c = 0;

x1 * x2 = c;

x1 + x2 = - b;

(x - x1) * (x - x2) = 0.

3x^2 - 10x - 25 = 0;

x^2 - 10/3 x  - 25/3 = 0;

x1 * x2 = c = - 25/3;

x1 + x2 = - b =  + 10/3.

Oppure, differenza di quadrati:

a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b);

(2x)^2 - [(x + 5)^2] = 0;

[2 x  + (x + 5)] * [2x - (x + 5)];

[3x + 5] * [ x - 5] = 0.

ciao (@amcast

Ciao anche a te, nuovo membro @amcast (Amalia, Amelia, Amneris, ...?) e, nuovamente, benvenuta fra noi!
Forse l'altrieri non hai letto con l'attenzione che ti sarebbe convenuta la mia risposta
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/53393/
a un'altra tua domanda in cui pure dicevi d'esserti incartata.
Se l'avessi letta con un pizzico d'attenzione oggi non ti sentiresti arenata.
Te ne riporto i pezzetti che dovresti cercare di rammentare.
------------------------------
A) «E se una principiante si trova incartata perché, IN QUANTO PRINCIPIANTE, non ha ancora sviluppato la capacità di "vedere" per ispezione?
Nessuna paura!
Si applica brutalmente la procedura "for dummies", che Bramegupta pubblicò nel VII secolo, per scomporre brutalmente un qualsiasi trinomio quadratico monico.»
Tu, in quanto principiante, non devi cercare d'essere inventiva e avere il colpo d'occhio: quello si sviluppa col tempo. Devi invece andare sul sicuro applicando pedissequamente la procedura "for dummies" senza fidarti di cose imparate a memoria, ma affrontando ogni esercizio per conto tuo.
------------------------------
B) «"Che passaggi devo fare?"
Quelli di Bramegupta: completare il quadrato dei termini variabili; sostituire; scrivere il termine noto come opposto di un quadrato; applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati".»
==============================
NEL CASO IN ESAME
Per risolvere l'equazione
* 4*x^2 = (x + 5)^2 ≡ 3*x^2 - 10*x - 25 = 0
con i passaggi di Bramegupta ne servono altri due uno di prologo e uno di epilogo.
---------------
1) Prologo: scrivere l'equazione in forma normale canonica e dividerla membro a membro per il coefficiente direttore così ottenendo un trinomio quadratico monico.
* 4*x^2 = (x + 5)^2 ≡
≡ 3*x^2 - 10*x - 25 = 0 ≡
≡ x^2 - (10/3)*x - 25/3 = 0
---------------
2) Completare il quadrato dei termini variabili; sostituire.
* x^2 - (10/3)*x = (x - 5/3)^2 - (5/3)^2
* x^2 - (10/3)*x - 25/3 = 0 ≡
≡ (x - 5/3)^2 - (5/3)^2 - 25/3 = 0 ≡
≡ (x - 5/3)^2 - 100/9 = 0
---------------
3) Scrivere il termine noto come opposto di un quadrato; applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati".
* (x - 5/3)^2 - 100/9 = 0 ≡
≡ (x - 5/3)^2 - (10/3)^2 = 0 ≡
≡ (x - 5/3 + 10/3)*(x - 5/3 - 10/3) = 0 ≡
≡ (x + 5/3)*(x - 5) = 0
---------------
4) Epilogo: applicare la legge d'annullamento del prodotto; distinguere le radici.
* (x + 5/3)*(x - 5) = 0 ≡
≡ (x + 5/3 = 0) oppure (x - 5 = 0) ≡
≡ (x = - 5/3) oppure (x = 5)
---------------
SE TI STAMPI QUESTA RISPOSTA E QUELL'ALTRA, POI TE LE TIENI PER PROMEMORIA.

$4x^2=(x+5)^2$

$4x^2=x^2+10x+5^2$

$4x^2-x^2-10x=25$

$3x^2-10x-25=0$

equazione di secondo grado completa quindi puoi applicare la formula risolutiva con i seguenti dati:

$a= 3$;

$b= -10$;

$c= -25$;

$∆= b^2-4ac = (-10)^2-(4×3×(-25)) = 100-(-300) = 100+300 = 400$;

$x_{1,2}= \frac{-b±\sqrt{∆}}{2a} = \frac{-(-10)±\sqrt{400}}{2×3} = \frac{10±20}{6}$

risultati:

$x_1= \frac{10-20}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$;

$x_2= \frac{10+20}{6} = \frac{30}{6} = 5$.