Potreste aiutarmi a risolvere quest'integrale definito? Io ho pensato alla sostituzione e infatti ho posto t=(x+1)^1/2.Gentilmente potreste esplicitati tutti i passaggi su un foglietto? Grazie mille! 🙂
Potreste aiutarmi a risolvere quest'integrale definito? Io ho pensato alla sostituzione e infatti ho posto t=(x+1)^1/2.Gentilmente potreste esplicitati tutti i passaggi su un foglietto? Grazie mille! 🙂
Allora per prima cosa poniamo t=radice(x+1) che quindi significa t²=x-1 e di conseguenza x=t²-1
Quindi sappiamo che dx=2t dt
Sostituendo l'integrale diventa t/(t²-1) *2t dt che quindi scriviamo come 2t²/(t²-1) dt
Al numeratore aggiungiamo e togliamo 2:
(2t² +2 - 2)/(t²-1) dt
Perché in questo modo possiamo dividere l'integrale in due frazioni:
1) (2t²-2)/(t²-1)
2) +2/(t²-1)
La prima frazione è semplificabile, infatti 2t²-2=2(t²-1). Quindi la prima frazione è uguale 2.
L'integrale allora diventa 2 + 2/(t²-1) dt
La seconda frazione va divisa con il metodo delle frazioni parziali:
Per prima cosa si scompone il denominatore, infatti t²-1 = (t+1)(t-1)
Poi si divide la frazione di partenza in due frazioni, in questo modo:
2/(t²-1)= A/(t+1) + B/(t-1)
Il nostro obiettivo adesso è trovare A e B
Moltiplichiamo tutto per (t²-1) ed otteniamo
2= A(t-1) + B(t+1)
Cioè
2= At - A +Bt + B
2= t(A+B) + (B-A)
Siccome i due membri dell'equazione si dicono identici, possiamo creare un sistema di due equazioni dove eguagliato i coefficienti di t e del termine noto:
1) 0= A+B (sono i coefficienti della t)
2) 2= B-A (sono i termini noti)
La soluzione di questo piccolo sistema è
A=-1 e B=1
Allora abbiamo trovato che:
2/(t²-1) = -1/(t+1) + 1/(t-1)
Il nostro integrale è allora:
+2 - 1/(t+1) + 1/(t-1) dt
Sono pezzi molto facili da integrare ed il loro risultato è
2t - ln(t+1) + ln(t-1)
Siccome l'integrale è definito dobbiamo anche trovare gli estremi di integrazione:
Se x vale 1 allora t=radice(2)
Se x vale 8 allora t=3
(proprio perché t=radice(x+1))
Qui ti basta sostituire prima il 3 e poi la radice di 2 ed il gioco è fatto!
Ciao!
Ti invio il foglio con i calcoli, come da te richiesto.
Scrivo un po' male, se non capisci qualcosa dimmi pure.🤣