Sto provando a risolvere il seguente integrale con il metodo di sostituzione:
\int_{}^{}\sqrt{a^2-x^2}dx
Purtroppo ponendo t=a^2 - x^2 non credo si possa continuare e non capisco come risolverlo.
Sto provando a risolvere il seguente integrale con il metodo di sostituzione:
\int_{}^{}\sqrt{a^2-x^2}dx
Purtroppo ponendo t=a^2 - x^2 non credo si possa continuare e non capisco come risolverlo.
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Livello 0
Puoi provare con x = a sin t
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Livello 7
Si opera con una sostituzione goniometrica. Si hanno a disposizione due alternative $ x = a\,sinθ $ oppure $x = a\,cosθ $. Scegliamo
$ x = a\, sinθ \; ⇒ \; x^2 = a^2\,sin^2θ \; ⇒ \; θ = arcsin(\frac{x}{a}) $ inoltre $ dx = a\, cos θ dθ$
$ \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \int \sqrt{a^2-a^2sin^2 θ} \, a\,cosθ \, dθ = a^2\int cos^2 θ \, dθ $
$ \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} (θ+sinθcosθ) + c $
$ \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} (θ+\frac{1}{2}sin(2θ)) + c $
$ \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} (\arcsin(\frac{x}{a})+\frac{1}{2}sin(2 \arcsin(\frac{x}{a})) + c $
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Livello 4