Ciao!
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3^x - 2^x}{5^x -4^x} $$
Raccogliamo $2^x$ al numeratore e $4^x$ al denominatore:
$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x(\frac32^x - 1)}{4^x(\frac54^x -1)} =$
dividiamo e moltiplichiamo per $x$, così da poter usare il limite notevole
$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = ln(a) $
e otteniamo:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \cdot ln(\frac32)}{4^x\cdot ln(\frac54)} = \frac{2^0\cdot ln(\frac32)}{4^0\cdot ln(54)}=\frac{ln(\frac32)}{ ln(\frac54)} $
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{log(\frac{1+x}{x}}{arctan(x) \cdot arcsen(\frac{1}{x})} $$
Spezziamo la frazione dentro il logaritmo per avere
$ \frac{1}{x} +1 $
In questo modo abbiamo $log( 1+f(x))$ con $f(x) \rightarrow 0$, quindi possiamo usare il limite notevole:
$ \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac{log( 1+f(x))}{f(x)} = 1 $
$ \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{log(\frac{1}{x} +1) \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}{arctan(x) \cdot arcsen(\frac{1}{x})} = $
$ = \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{ \frac{1}{x}}{arctan(x) \cdot arcsen(\frac{1}{x})} $
Possiamo anche usare:
$ \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac{arcsen(f(x))}{f(x)} = 1 $
tra l'arcoseno e il $\frac{1}{x}$ al numeratore, ottenendo:
$ = \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{1}{arctan(x) } = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} $
Devo ammettere che il primo mi dà delle difficoltà dato che per $x \rightarrow 0$ il logaritmo esterno non è definito...