[Risolto] Risoluzione con calcoli equazione goniometrica

( log_sin x 2)^2 < log_sin x (4 sin^3(x))

C.E. sin x > 0 e sin x =/= 1

0 < x < pi/2 V pi/2 < x < pi e poi si aggiunge la periodicità 2 k pi

(log_sin(x) 2)^2 < log_sin(x) 4 + log_sin(x) sin^3(x)

ricordiamo che la base é minore di 1

(log_sin(x) 2)^2 < 2 log_sin(x) 2 + 3

( proprietà dei logaritmi )

ponendo log_sin(x) 2 = u

u^2 - 2u - 3 < 0

u^2 - 3u + u - 3 < 0

u(u - 3) + (u - 3) < 0

(u + 1)(u - 3) < 0

e considerando gli intervalli interni

- 1 < u < 3

Per la risoluzione di

- 1 < log_2 2/log_2 sin(x) < 3

possiamo limitarci a considerare 0 < x < pi/2

e poi aggiungere gli archi associati supplementari

1/log_2 sin x > - 1

log_2 sin x < - 1

sin x < 1/2

0 < x < pi/6

e

1/log_2 sin x < 3

questa é automaticamente soddisfatta

perché sin x < 1 => log_2 sin x < 0 => 1/log_2 sin x < 0 < 3

Pertanto considerando anche i supplementari di 0 < x < pi/6 e la periodicità

si ha infine

S : 2 k pi < x < 2 k pi + pi/6 V 5/6 pi + 2 k pi < x < pi + 2 k pi, k in Z.