Riconoscere una funzione.

@studentessa_ ciao

Ricordiamo la definizione.

Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti), di R, una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B.

$f:A \rightarrow B$

$y=1-ln(-\sqrt{x})$

Questa è una funzione però non è definita in R, ma in C (campo complesso)

Il sottoinsieme A è vuoto !!

L’argomento del logaritmo naturale:  non è mai positivo in R.

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$x^2+y^2=9$

Questa non è una funzione perché essendo l’equazione di una circonferenza di raggio 3, è una curva chiusa e pertanto esistono valori di x diversi che hanno la stessa immagine attraverso f.

Se la scriviamo esplicitando y in funzione di x:

$y^2=9-x^2$

da cui

$y=\pm\sqrt{9-x^2}$

Questa è definita in: $A=[-3;+3]$

Considerando solo da 0 a +3, restringendo il dominio:

$y=\sqrt{9-x^2}$

è una funzione.

$A=[0;+3]$ e $B=[0;3]$

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$x=6$

Questa è una retta parallela all’asse delle ordinate. Non è una funzione

 Abbiamo un solo elemento di A a cui è associato ogni elemento di B.

$A={6}$ e $B=R$

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L’unica funzione reale è l'ultima, definita a tratti.

$y=\begin{cases}x-1 & x<0 \\x^2+3 & x > 0\end{cases}$

Semiretta per x<0

Arco di parabola per x>0

$A=R-{0}$ e $B=(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$

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Dall'esame degli elementi del tuo testo deduco un po' di cose.
* "scrittura" ≡ equazione nelle due variàbili (x, y).
* "x < 0", "x > 0" ≡ la variàbile x non è complessa.
* "radx" ≡ √x
* "In()" ≡ ln()
E dal complesso immagino (del tutto arbitrariamente!) l'interpretazione restrittiva
* "funzione" ≡ funzione reale di variàbile reale.
SE E' TUTTO VERO PUOI CONTINUARE A LEGGERE, se no non ne vale la pena.
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Ogni equazione nelle due variàbili reali (x, y) rappresenta una curva Γ nel riferimento piano Oxy e si può sempre ridurre alla sua forma normale canònica
* Γ ≡ F(x, y) = 0
L'insieme D degl'intervalli dell'asse x dove si può esplicitare univocamente y
* Γ ≡ F(x, y) = 0 ≡ y = f(x)
costituisce l'insieme di definizione reale della funzione y = f(x).
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Pertanto una "regola generale" abbastanza praticabile è quella di risolvere il sistema in (x, y), parametrico in k,
* (x = k) & (F(x, y) = 0)
e di distìnguere le soluzioni al variare di k:
* se il sistema ha una e una sola soluzione reale quel valore di k è in D;
* se il sistema non ha soluzione reale, o se ne ha più d'una quel k non è in D.
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in termini grafici questa regola consiste nel tracciare la curva
* Γ ≡ F(x, y) = 0
e, sul disegno, isolare gl'intervalli dell'asse x dove una retta parallela all'asse y ha esattamente una intersezione con Γ: sull'insieme D di tali intervalli si può esplicitare univocamente
* Γ ≡ y = f(x)
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ESEMPI
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A) y = 1 - ln(- √x)
è indefinita solo per x = 0, ma ha solo valori complessi: D è l'insieme vuoto.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1-ln%28-%E2%88%9Ax%29
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B) x^2 + y^2 = 9
è definita ovunque, ma il sistema "(x = k) & (F(x, y) = 0)" ha:
* per |x| > 0, zero soluzioni reali;
* per |x| = 0, una soluzione reale doppia;
* per |x| < 0, due soluzioni reali distinte;
quindi (secondo quale libro consulti) o D è l'insieme vuoto oppure consiste dei due soli punti x = ± 3.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2By%5E2%3D9%2Cx%5E2%3D9%2Cx*y%3D0%5D
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C) x = 6
è definita solo per x = 6, ed ivi la y può assumere ogni valore reale.
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D) (x < 0) & (y = x - 1) oppure (x > 0) & (y = x^2 + 3)
è indefinita solo per x = 0, ma altrove è univoca: D è l'asse x senza origine.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=piecewise%5B%7B%7Bx-1%2Cx%3C0%7D%2C%7Bx%5E2%2B3%2Cx%3E0%7D%7D%5D