equazione (a) della componente verticale del moto :
(h fin - h in) = Vo*sen Θo*t -g/2*t^2
risolvendo per t, questa equazione ti dice quanto dura il volo
equazione (b) della componente orizzontale del moto :
gittata G = Vo*cos Θo*t
Nel caso particolare in cui (h fin - h in) = 0 (altezza di lancio ed altezza di atterraggio uguali), l'equazione (a) diventa :
g/2t^2 = Vo*sen Θo*t
t = 2*Vo*sen Θo/g...che sostituita nella (b) porta a :
G = Vo*cos Θo*(2Vo*sen Θo)/g
G = Vo^2/g*2*sen Θo*cos Θo
poiché 2*sen Θo*cos Θo = sen 2Θo...si ha :
gittata G = Vo^2/g*sen 2Θo....ne consegue che, a parità di Vo, la gittata G è massima per sen 2Θo = 1, vale a dire Θo = 90°/2 = 45°
Nel caso generale dove h fin ≠ h in si ha :
a) per h fin > h in
il tempo t assume due valori, il minore dei 2 per la fase ascendente del volo , l'altro per la fase discendente del volo
b) per h fin < h in
il tempo t assume ugualmente due valori, di cui uno solo positivo ed accettabile
Va da se che, a pari Vo e Θo, il caso a da luogo ad un tempo t minore di quello del caso b
ti propongo qualche esempio con:
# Vo = 20 m/s
# Θo ≅ 37° tal che sen Θo = 0,60 e cos Θo = 0,80
hfin = hin :
gittata G = Vo^2/g*2*sen Θo*cos Θo = 20^2/9,806*2*0,6*0,8 = 39,160 m
tempo di volo t = G/(Vo*cos Θo) = 39,16/(20*0,8) = 2,448 s
h fin = 5 ; h in = 0
h fin - h in = Vo*sen Θo*t-g/2*t^2
5-0 = 20*0,6*t-9,806/2*t^2
5-12t+4,903t^2 = 0
t = (12±√12^2-4,903*4*5 ) / 9,806... la cui soluzione da due valori (t1 e t2)
t1 = 0,533 s asc.
t2 = 1,915 s disc.
G1 = Vo*cos Θo*t1 = 20*0,8* 0,533 = 0,52 m
G2 = Vo*cos Θo*t2 = 20*0,8* 1,915 = 30,64 m
h fin = 0 ; h in = 5
h fin - h in = Vo*sen Θo*t3-g/2*t3^2
0-5 = 20*0,6*t3-9,806/2*t3^2
-5-12t3+4,903t3^2 = 0
t3 = (12±√12^2+4,903*4*5 ) / 9,806 = 2,810
G3 = Vo*cos Θo*t3 = 20*0,8*2,810 = 45,0 m