[Risolto] Ricavare l'equazione di una iperbole

Problema:

Determinare l'equazione dell'iperbole, riferita agli assi, con i fuochi sull'asse $y$, sapendo che passa per $A(2,3)$ ed è tangente alla retta $y =1$.

Soluzione:

L'iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate è definita come: $χ: \frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=-1$.

Dato che i valori incogniti sono $a$ e $b$, è necessario impostare un sistema a due incognite con un'equazione che indica l'appartenenza di $A$ all'iperbole ed un'altra che indica la tangenza con la retta $y=1$.

Dato che la retta tangente in questione è parallela all'asse delle ascisse, si ha che essa sarà tangente in un vertice dell'iperbole e dunque, $b$, rappresentante la lunghezza del semiasse trasverso, avrà valore pari ad 1.

{$A \in χ: \frac{4}{a²}-\frac{9}{b²}=-1$, $b=1$} $\rightarrow (a²,b²)=(\frac{1}{2},1)$.

L'iperbole risulta dunque esser definita dall'equazione $χ: 2x²-y²=-1$.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.