rettee

@stefagnagaga

Esplicitando l'equazione del fascio rispetto al parametro k si ottiene:

- 3x + 2y + 1 + k* (x+2y-3) = 0

Da cui si ricavano le rette generatrici del fascio:

-3x + 2y + 1 = 0

x + 2y - 3 = 0

E il centro C del fascio mettendo a sistema le equazioni delle due rette. 

Sottraendo la prima equazione alla seconda ricaviamo:

C=(1, 1)

Determino le rette che incontrano l'asse x in un punto

A/ |AO|=3  ==> A=(3, 0) oppure A1=( - 3,0)

La retta generatrice x+2y-3= 0  è la retta che passa per A

Determino l'equazione della retta passante per A1. Posso utilizzare la formula della retta passante per due punti (A1 e C) 

y=(1/4)*(x+3)

x-4y+3=0

Quindi la seconda retta del fascio che soddisfa la condizione |AO|=3 è: x-4y+3= 0

Domanda C) la solita! 

La retta del fascio // asse x ha equazione y=k. Quindi si ottiene imponendo la condizione:

(k-3)=0 => k=3

@stefagnagaga

Ciao. Hai trovato difficoltà perché ti sei imbattuta nel problema della retta esclusa dal fascio:

La retta esclusa da un fascio è la retta generatrice che non può essere ottenuta per alcun valore del parametro k. Con abuso di notazione si dice che la retta esclusa dal fascio si ottiene per il valore k= inf.

(abuso perché inf è un limite e non un numero!)

Infatti:

(k - 3)·x + (2·k + 2)·y + 1 - 3·k = 0 si riordina e diventa:

k·(x + 2·y - 3) - 3·x + 2·y + 1 = 0

Quindi hai le due generatrici del fascio che messe a sistema determinano il centro proprio (in questo caso!) del fascio:

{x + 2·y - 3 = 0

{- 3·x + 2·y + 1 = 0

Se lo risolvi ottieni:[x = 1 ∧ y = 1]-------> C(1,1)

Poi, molto probabilmente non hai visto che la prima generatrice messa nel sistema precedente soddisfaceva la seconda parte del problema dove hai trovato difficoltà ed hai proceduto meccanicamente prendendo il fascio e mettendolo a sistema con asse delle x cioè y=0:

{(k - 3)·x + (2·k + 2)·y + 1 - 3·k = 0

{y=0

Se lo risolvi ottieni:

[x = (3·k - 1)/(k - 3) ∧ y = 0]

quindi hai provato a risolvere l'equazione in modulo:

ABS((3·k - 1)/(k - 3)) = 3 che risulta impossibile

si dice che k=inf in modo errato, vale solo passando al limite: il limite del rapporto per k-->inf (+/-) è 3.

Dopo di ché tutti i passaggi dell'amico @stefanopescetto sono esatti ed è inutile ripeterli!

VEDO CINQUE DOMANDE PRATICAMENTE IDENTICHE ai link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/63181/
e poi ai "postid" 63183, 63186, 63189, 63190
tutte sul fascio di rette: generarlo, classificarlo, individuarne rette specifiche.
Può essere che semplicemente tu non abbia voglia di fare i tuoi compiti?
Oppure che ti serva un mini promemoria da stampare e tenere sott'occhio?
Sono buono e opto per la seconda ipotesi (devo pur trovarmi qualcosa da fare).
==============================
Uso i simboli del PROMEMORIA al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/63181/
==============================
Esercizio
Dalla forma normale canonica
* r(p) ≡ (p - 3)*x + (2*p + 2)*y + (1 - 3*p) = 0
si specializzano le due rette
* r(0) ≡ (0 - 3)*x + (2*0 + 2)*y + (1 - 3*0) = 0 ≡ y = (3*x - 1)/2
* r(1) ≡ (1 - 3)*x + (2*1 + 2)*y + (1 - 3*1) = 0 ≡ y = (x + 1)/2
incidenti nel centro C(1, 1)
da cui la forma esplicita (oltre la x = 1, parallela all'asse y)
* r(k) ≡ y = 1 + k*(x - 1)
con
* p(k) = (3 - 2*k)/(2*k + 1)
------------------------------
a) "determina le equazioni delle generatrici e il centro"
---------------
a1) "determina ... il centro"
Il fascio è proprio, col centro C(1, 1).
---------------
a2) "determina le equazioni delLE generatrici ..." ORRORE!
* r(0) ≡ y = (3*x - 1)/2
* r(1) ≡ y = (x + 1)/2
------------------------------
b) "le rette del fascio che incontrano l asse x in un punto A tale che AO=3"
E che dovrebbe significare "AO=3"? Faccio conto d'avere A(± 3, 0).
Si applica il punto "C4a2) v = m*u + h"
b1) per (- 3, 0): 0 = 1 + k*(- 3 - 1) ≡ k = 1/4 quindi y = (x + 3)/4
b2) per (3, 0): 0 = 1 + k*(+ 3 - 1) ≡ k = - 1/2 quindi y = (3 - x)/2
------------------------------
c) "il valore di p corrispondente alla rette parallela all asse x"
"parallela all'asse x" vuol dire con pendenza zero
* r(0) ≡ y = 1 + 0*(x - 1) ≡ y = 1
quindi con
* p(0) = (3 - 2*0)/(2*0 + 1) = 3