[Risolto] RETTE TANGENTI

$ y(x) = xe^{-2x}$

Calcoliamo le derivate

$ y'(x) = e^{-2x}(1-2x) $

$ y^{(2)}(x) = 4e^{-2x}(x-1) $

• Punti di flesso

dalla derivata seconda segue che l'eventuale punto di flesso è x = 1.

Studiamo il segno della derivata seconda

$\begin{cases} y^{(2)}(x) \lt 0 \,\, & \,\,\text{per x < 1}\\ y^{(2)}(x) = 0 \,\, & \,\,\text{per x = 1}\\ y^{(2)}(x) \gt 0 \,\, & \,\,\text{per x > 1} \end{cases}$ 

Si tratta di un punto di flesso visto che la funzione è concava a sinistra del punto x = 1 e convessa per x > 1.

• Retta tangente in x = 1
  • $ y(1) = e^{-2}$
  • $ y'(1) = - e^{-2}$ 

L'equazione generale della retta tangente è

$y = y(x_0) + y'(x_0)\cdot(x-x_0)$ 

nel nostro caso $x_0 = 1$

$y = e^{-2} - e^{-2} \cdot (x-1)$

$y = e^{-2} (2-x)$