[Risolto] RETTE TANGENTI

• $y(x) = \frac {x}{x^2+3} $
• $y'(x) = \frac {3-x^2}{(x^2+3)^2} $
• $ y^{(2)} = \frac {2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3} $

Nei punti di flesso la derivata seconda è nulla

$ y^{(2)} = 0 \implies x = 0 \lor x = -3 \lor x = 3$

Abbiamo trovato 3 potenziali punti di flesso. Studiamo il segno della derivata seconda per provare che i punti precedenti separano tra loro gli intervalli di convessità da quelli di concavità e viceversa.

• Segno della derivata seconda.

______-3_______0_______3____

---------------------0++++++++++  2x

+++++0----------------------0++++  (x²-9)

+++++++++++++++++++++++  (x²+3)³

---------0++++++0----------0++++  y" 

i tre punti separano intervalli dove y" è positiva (convessità) da intervalli dove y" è negativa (concavità) quindi sono proprio tre punti di flesso.

.

Passiamo alle rette tangenti.

L'equazione della retta tangente nel punto x₀ è data dalla

$y = y(x₀) + y'(x₀) \cdot (x-x₀)$

nei tre punti avremo

• per x = -3

$y = y(-3) + y'(-3) \cdot (x+3) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{24} (x+3) \implies$

$y =   - \frac{x}{24} - \frac{3}{8}$

.

• per x = 0

$y = y(0) + y'(0) \cdot x \implies y = \frac {x}{3}$

.

• per x = 3

$y = y(3) + y'(3) \cdot (x-3) = \frac{1}{4} - \frac{1}{24} (x-3) \implies$

$y =   -\frac{x}{24} + \frac{3}{8}$