[Risolto] Rette parallele e perpendicolari

Per chiarezza di termini e soprattutto di idee.
Il valore "m" del coefficiente angolare di una retta ne misura la pendenza cioè la tangente (funzione trigonometrica) dell'inclinazione che è l'angolo che la retta fa con il semiasse positivo dell'asse x; MA SOLO QUANDO TALE PENDENZA SIA MISURABILE.
Una retta parallela all'asse y ha un'inclinazione di 90°, per cui la pendenza non è definita: "m" non esiste e quindi non si può confrontare l'inesistente.
Di ogni retta non parallela all'asse y si può scrivere la forma (pendenza, intercetta) = (m, q) esplicita in y
* y = m*x + q
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In relazione ai coefficienti (a, b, c) della forma normale canonica
* a*x + b*y + c = 0
c'è da osservare che se b = 0 la retta è parallela all'asse y all'ascissa
* x = - c/a
con a != 0: se fossero zero a e b non ci sarebbe la retta!
Se invece b != 0 è lecito esplicitare y ottenendo
y = - (a/b)*x - c/b
da cui si vede che
* pendenza m = - a/b
* intercetta q = - c/b
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Chiarito di cosa si stia parlando, ti illustro gli accertamenti che hai chiesto.
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PARALLELISMO
Sulle pendenze: m = m'.
Sostituendo l'espressione in (a, b, c) si ha
* m = m' ≡ - a/b = - a'/b' ≡ a*b' = b*a' ≡ a : a' = b : b'
Per quest'accertamento il confronto delle pendenze (se esistono!) è equivalente alla verifica della proporzione.
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PERPENDICOLARITA'
Sulle pendenze: m*m' = - 1.
Sostituendo l'espressione in (a, b, c) si ha
* m*m' = - 1 ≡ (- a/b)*(- a'/b') = - 1 ≡ a*a' = - b*b' ≡ a*a' + b*b' = 0
Anche per quest'accertamento il confronto delle pendenze (se esistono!) è equivalente alla verifica della proporzione.

@mirea00

Ciao. Per scrivere una retta nel piano cartesiano puoi adoperare diverse equazioni. Il caso che hai esaminato riguarda il fatto di avere rette scritte:

a) nella forma implicita : a1x+b1y+c1=0 ; a2x+b2y+c2=0

Con questa forma puoi scrivere qualsiasi retta nel piano dando ai coefficienti valori opportuni. Per questo tale forma è detta anche generale

b) nella forma esplicita : y=mx+q ; y=m'x+q'

questa forma scrive le rette come funzioni , come tali non puoi scrivere rette verticali, cioè del tipo

x=k con k costante.

Per tali rette hai (come giustamente detto da te:

Se rette parallele: m'=m, se rette perpendicolari: m'=-1/m

Se fai riferimento alla prima forma riconosci che:

rette parallele devono essere tali da non incontrarsi mai, per cui si deve verificare che:

a1 : a2 =b1 : b2 se tali rapporti sono pure pari a: =c1 : c2, allora le rette sono anche coincidenti.

L'altra condizione di perpendicolarità la puoi esaminare risolvendo l'equazione implicita :

a·x + b·y + c = 0 ---->  y = - a·x/b - c/b e confrontando tale equazione con y=mx+q,

ti accorgi che m=-(a1/b1) analogamente per altra retta perpendicolare: m'=-(a2/b2)

Quindi: m=-1/m'----> -(a1/b1)=-1*(-b2/a2)----->da cui (-a1)(a2)

-a1*(a2)=b1*b2----->a1*a2+b1*b2=0 condizione di perpendicolarità fra rette espresse in forma implicita.