sul prolungamento della mediana am del triangolo ABC considera un punto p tale che MP congruente a m dimostra che CP è parallelo ad AB e che AC è parallelo a PB
sul prolungamento della mediana am del triangolo ABC considera un punto p tale che MP congruente a m dimostra che CP è parallelo ad AB e che AC è parallelo a PB
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Livello 0
Guarda la figura che ho disegnato per capire al meglio la dimostrazione.
Gli elementi colorati nello stesso colore sono congruenti.
Nota che, essendo $\overline{AM}$ la mediana del triangolo $ABC$, questa divide il lato $\overline{BC}$ nei due segmenti $\overline{BM} \cong \overline{MC}$, per costruzione $\overline{AM} \cong \overline{MP}$, ora nota che gli angoli $\alpha \cong \alpha '$ sono congruenti perché opposti al vertice, allora i triangoli $AMC$ e $BMP$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza$^{[1]}$, di conseguenza $\overline{CP} \cong \overline{AB},\ \overline{BP} \cong \overline{AC}$. Dato che naturalmente $\overline{BC} \cong \overline{BC}$ i triangoli $BCP$ e $ACP$ sono congruenti per il terzo criterio di congruenza$^{[2]}$. Da ciò segue che gli angoli alla base corrispondenti sono congruenti tra loro, quindi anche gli angoli opposti sono congruenti fra loro, nel complesso la figura è un quadrilatero con i lati opposti congruenti e gli angoli opposti congruenti, secondo la definizione di parallelogramma questa figura è tale, quindi -sempre per la definizione di parallelogramma- i lati opposti sono paralleli tra loro, nel particolare $\overline{CP} \parallel \overline{AB}$, $\overline{AC} \parallel \overline{BP}$.
$\textit{q.e.d.}$
[1] Primo criterio di congruenza dei triangoli:
Se due triangoli hanno due lati corrispondenti congruenti e l'angolo fra di essi compreso congruente, tali triangoli sono congruenti.
[2] Terzo criterio di congruenza dei triangoli:
Se due triangoli hanno tutti i lati congruenti, quei due triangoli sono congruenti.
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Livello 2
@gabo sì questa dimostrazione è evidente Il problema è che questo problema è messo in una sezione del libro prima dei criteri di congruenza.... Quindi mi sono chiesta se esiste un'altra dimostrazione senza i criteri di congruenza dei triangoli oppure più semplicemente ormai i libri sono fatti in modo estremamente raffazzonato e privo di senso.... Pochi giorni fa è successa la stessa cosa con dei problemi che andavano risolti necessariamente con il secondo di Euclide.... Se non che erano messi nella sezione prima dei teoremi di Euclide.... Si dà un po' troppo per scontato che queste cose siano state fatte alle medie? Nessuno dei miei alunni le ha fatte alle medie né Euclide (che una volta si faceva) meno che meno i criteri di congruenza!
@pina_di_leo dalle elementari sappiamo che l'intersezione delle diagonali di un parallelogramma è il suo punto medio, quindi bastava osservare che $M$ è il punto medio sia di $\overline{BC}$ che di $\overline{AP}$, tuttavia per dimostrare tale affermazione dovremmo applicare il Teorema di Talete, che dubito sia stato affrontato a questo punto, sappiamo che è vero solo perché ce lo dicono gli insegnanti non disponendo di altri strumenti, se vogliamo accettare assiomaticamente questo fatto allora il problema si dimostra ancora più banale da risolvere ma non penso sia passabile.
E comunque io Euclide alle medie lo avevo studiato e usato molto raramente, così come i criteri di congruenza, sono argomenti a cui gli insegnanti delle medie non dedicano il giusto tempo a spiegare, quindi è molto probabile che i tuoi alunni lo abbiano dimenticato (raramente capiterà di usare i teoremi di Euclide se non negli esercizi che sono pensati per essere risolti con quei teoremi, che sono proposti solo nel lasso di tempo in cui gli insegnanti si soffermano su questi argomenti).
@gabo infatti.... Comunque grazie
@pina_di_leo di nulla, per chiarire un po' alcune cose ho modificato la risposta al tuo commento!
Sul prolungamento della mediana AM del triangolo ABC considera un punto P tale che MP congruente AM dimostra che CP è parallelo ad AB e che AC è parallelo a PB
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è un parallelogramma .
il triangolo amb è uguale oggi si dice congruente pmc. bm è uguale a mc per costruzione, am è uguale a mp pure per costruzione.
L'angolo pm^c è opposto al vertice di am^b e quindi uguali , quindi amb è uguale pmc per il primo criterio di eguaglianza ( oggi si dice congruenza)
identicamente amc è uguale a pmb.cvd
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Livello 5