Si considerino il piano π di equazione 3x − y + z + 1 = 0 e la retta
r :{
x = 3 − t
y = −1 + t
z = t }
c) Determinare (se esiste) un piano ortogonale a π e contenente r.
Si considerino il piano π di equazione 3x − y + z + 1 = 0 e la retta
r :{
x = 3 − t
y = −1 + t
z = t }
c) Determinare (se esiste) un piano ortogonale a π e contenente r.
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Livello 1
Dall'equazione della retta in forma parametrica:
{x = 3 - t
{y = -1 + t
{z = t
ricavo un fascio di piani in forma cartesiana.
x = 3 - z--------> x + z - 3 = 0
y = -1 + z-------> y - z + 1 = 0
x + z - 3 + λ·(y - z + 1) = 0-------> x + λ·y + z·(1 - λ) + λ - 3 = 0
Il piano dato è: 3·x - y + z + 1 = 0
Applico la condizione di perpendicolarità fra due piani:
3·1 - 1·λ + 1·(1 - λ) = 0
4 - 2·λ = 0------> λ = 2
Quindi il piano cercato è:
x + 2·y + z·(1 - 2) + 2 - 3 = 0
x + 2·y - z - 1 = 0
90142
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Genius II
Se il piano richiesto ha equazione
ax + by + cz + d = 0
allora deve essere 3a - b + c = 0
b = 3a + c
ax + (3a + c) y + cz + d = 0
a(3 - t) + (3a + c) (-1 + t) + ct + d = 0
3a - 3a - c + d = 0
-a + 3a + c + c = 0
d = c
2a = -2c => a = -c
b = 3a + c = -2c
-cx - 2cy + cz + c = 0
x + 2y - z - 1 = 0
Verifica
(1 2 -1) (3 -1 1)' = 3 - 2 - 1 = 0
3 - t -2 + 2t - t - 1 = 0 per ogni t
45530
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Livello 7