[Risolto] Rette e piani nello spazio

{x + 2·y - z + 1 = 0

{x - y - 2·z - 1 = 0

Risolvo il sistema trattando la x come se fosse una costante ed in definitiva andando ad ottenere come soluzione del sistema due funzioni della sola x:

[y = - x/5 - 3/5 ∧ z = 3·x/5 - 1/5 ]

Se la retta data (riscritta nel modo appena detto) giace nel piano: 4·x + 11·y - 3·z + 6 = 0

significa che inserite le due funzioni nel piano stesso, abbiamo una identità. Infatti:

4·x + 11·(- x/5 - 3/5) - 3·(3·x/5 - 1/5) + 6 = 0

4·x + (- 11·x/5 - 33/5) - (9·x/5 - 3/5) + 6 = 0

(4·x - 20/5·x) - 33/5 + 3/5 + 6 = 0

0 = 0

OK!!

La terza equazione (quella del piano) è combinazione lineare delle prime due [(3a) = - 5*(1a) + 1*(2a)]

Il sistema ammette infinite soluzioni. La retta giace sul piano 

Un modo potrebbe essere fissare z = t e scrivere

x + 2y = t - 1

x - y = 2t + 1

Sottraendo

3y = t - 1 - 2t - 1

y = (-t-2)/3

x = 2t+1 - (t+2)/3 = (6t + 3 - t - 2)/3 = 5/3 t + 1/3

Ora 4x + 11y - 3z + 6 =

= 4(5/3 t + 1/3) + 11(-1/3 t - 2/3) - 3t + 6 =

= 20/3 t + 4/3 - 11/3 t - 22/3 - 3t + 6 =

= (20 - 11 - 9)/3 t è (4 - 22 + 18)/3 =

= 0t + 0 = 0

e la verifica é riuscita

Fai sistema dei tre piani: se è impossibile, la retta è parallela al piano; se è determinato, la retta incide sul piano; se è indeterminato, la retta giace sul piano.
* (x + 2*y - z + 1 = 0) & (x - y - 2*z - 1 = 0) & (4*x + 11*y - 3*x + 6 = 0) ≡
≡ (x = - 1/2) & (y = - 1/2) & (z = - 1/2)
La verifica fallisce perché la retta incide sul piano.

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ERRATA CORRIGE @eva123 e p.c. @LucianoP
L'altro giorno il problema m'era parso così banale da fidarmi di
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%2B2*y-z%2B1%3D0%29%26%28x-y-2*z-1%3D0%29%26%284*x%2B11*y-3*x%2B6%3D0%29
senza rifletterci su di mio, ma con un errore di dito sulla terza equazione: fu una botta di rinco, me ne scuso.
Riflettendoci adesso, anche senza il colpo d'occhio di falco da riconoscere @StefanoPescetto (gli clicko un cuoricino per ringraziamento), ti mostro come affrontarlo in modo pedissequo, ma sistematico e sicuro
* (x + 2*y - z + 1 = 0) & (x - y - 2*z - 1 = 0) & (4*x + 11*y - 3*z + 6 = 0) ≡
≡ (z = x + 2*y + 1) & (x - y - 2*(x + 2*y + 1) - 1 = 0) & (4*x + 11*y - 3*(x + 2*y + 1) + 6 = 0) ≡
≡ (y = - (x + 3)/5) & (z = x + 2*(- (x + 3)/5) + 1) & (4*x + 11*(- (x + 3)/5) - 3*(x + 2*y + 1) + 6 = 0) ≡
≡ (y = - (x + 3)/5) & (z = (3*x - 1)/5) & (y = - (x + 3)/5) ≡
≡ (y = - (x + 3)/5) & (z = (3*x - 1)/5)
e, correggendo l'errore di battitura, tout se tient (© De Saussure).