[Risolto] Rette con i parametri

Una "retta con un parametro" si chiama fascio di rette.
La consegna dell'esercizio è di determinare
1) se i due fasci omoparametrici in k
* r(k) ≡ 3*k*x + (k + 1)*y = 5*k
* s(k) ≡ (3*k + 3)*y = (k - 5)*x - k - 1
possano o meno generare rette parallele per lo stesso valore di k;
2) se sì, determinare per quali valori di k.
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RISOLUZIONE
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A) Riscrivere i fasci in forma normale canonica.
* r(k) ≡ 3*k*x + (k + 1)*y - 5*k = 0
* s(k) ≡ (k - 5)*x - 3*(k + 1)*y - (k + 1) = 0
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B) Riscrivere i fasci come distinzione di casi.
* r(k) ≡ (k = - 1) & (x = 5/3) oppure (k != - 1) & (y = - (3*k/(k + 1))*(x - 5/3))
* s(k) ≡ (k = - 1) & (x = 0) oppure (k != - 1) & (y = ((k - 5)*x - (k + 1))/(3*k + 3))
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C) Cercare coppie di parallele.
C1) k = - 1: (x = 5/3) e (x = 0) sono parallele.
C2) k != - 1: si trovano eventuali parallele eguagliando le pendenze
* - 3*k/(k + 1) = (k - 5)/(3*k + 3) ≡ k = 1/2
da cui
* r(1/2) ≡ y = 5/3 - x
* s(1/2) ≡ y = - x - 1/3
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D5%2F3%2Cx%3D0%2Cy%3D5%2F3-x%2Cy%3D-x-1%2F3%5D