Rettangolo inscritto fra due parabole

Ciao di nuovo. 
Appena ho tempo ti spedisco la risoluzione analitica. Intanto ti mando allegato grafico del problema.

Le soluzioni del problema sono 2.

Innanzitutto l'asse delle due parabole:

y = - x^2 + 8·x - 8      e      y = 1/4·x^2 - 2·x + 3/4

cioè: x = - b/(2·a) è unico ed ha equazione: x = 4

Le intersezioni fra le due parabole sono in 2 punti aventi quindi stessa ordinata:

[x = 1 ∧ y = -1, x = 7 ∧ y = -1]------> A(7,-1) e B(1,-1)

Quindi il problema  si può semplificare:

Scelgo un punto C appartenente alla 1^ parabola [x, - x^2 + 8·x - 8] con 4 < x < 7, quindi dico che la base del rettangolo debba valere:2·(x - 4) = base,

mentre l'altezza debba valere:

(- x^2 + 8·x - 8) - (1/4·x^2 - 2·x + 3/4) = - 5·(x^2 - 8·x + 7)/4

Quindi il perimetro:

2·(2·(x - 4)) + 2·(- 5·(x^2 - 8·x + 7)/4) = 24

semplificando l'espressione si ottiene un'equazione di 2° grado:

5·x^2 - 48·x + 115 = 0

che conduce a due risultati accettabili : x = 23/5 ∨ x = 5

Nella figura riportata sopra è presente la seconda soluzione.

I cui punti sono facilmente determinabili sfruttando la simmetria del problema:

C(5,7) ; C'(3,7); D(3,-3) ; E(5,-3)

Con WOLFRAMALPHA:

Le parabole
* Γ1 ≡ y = - x^2 + 8*x - 8 ≡ y = 8 - (x - 4)^2
* Γ2 ≡ y = x^2/4 - 2*x + 3/4 ≡ y = ((x - 4)^2 - 13)/4
hanno lo stesso asse di simmetria
* x = 4
vertici
* V1(4, 8) e V2(4, - 13/4) distanti ΔV = 45/4
intersezioni
* P(1, - 1) e Q(7, - 1) distanti c = 6
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Il complesso delle due curve è la quartica
* Γ ≡ (x^2 - 8*x - 4*y + 3)*(x^2 - 8*x + y + 8) = 0
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Poiché Γ1 ha apertura a1 = - 1 e Γ2 ha apertura a2 = + 1/4, diverse fra loro, il suggerimento del testo mi sembra un po' scemo perché la retta y = - 1 dei punti comuni non è asse di simmetria della figura e quindi con le secanti orizzontali si devono fare più calcoli che con le secanti verticali; invece un asse di simmetria della figura c'è, x = 4, e con le secanti verticali
* x = 4 ± d
a distanza d (0 < d < 3 = c/2) dall'asse i calcoli si semplificano.
* y1(d) = 8 - (4 ± d - 4)^2 = 8 - d^2
* y2(d) = ((4 ± d - 4)^2 - 13)/4 = (d^2 - 13)/4
e il perimetro del rettangolo formato da queste secanti è
* p(d) = 2*(2*d + (8 - d^2 - (d^2 - 13)/4)) =
= - (5*d^2 - 8*d - 45)/2
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Dal sistema
* (- (5*d^2 - 8*d - 45)/2 = 24) & (0 < d < 3) ≡
≡ (d = 3/5) oppure (d = 1)
si ricavano due soluzioni, con diverse dimensioni del rettangolo.
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a) d = 3/5
Il complesso delle due secanti ha equazione
* (x - 23/5)*(x - 17/5) = 0
e i vertici del rettangolo si hanno da
* ((x - 23/5)*(x - 17/5) = 0) & ((x^2 - 8*x - 4*y + 3)*(x^2 - 8*x + y + 8) = 0) ≡
≡ vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28x-23%2F5%29*%28x-17%2F5%29%3D0%29%26%28%28x%5E2-8*x-4*y--3%29*%28x%5E2-8*x--y--8%29%3D0%29
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a) d = 1
Il complesso delle due secanti ha equazione
* (x - 3)*(x - 5) = 0
e i vertici del rettangolo si hanno da
* ((x - 3)*(x - 5) = 0) & ((x^2 - 8*x - 4*y + 3)*(x^2 - 8*x + y + 8) = 0) ≡
≡ vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28x-3%29*%28x-5%29%3D0%29%26%28%28x%5E2-8*x-4*y--3%29*%28x%5E2-8*x--y--8%29%3D0%29