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Rettangolo inscritto fra due parabole

  

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Nella parte di piano racchiusa dalle 2 parabole di equazioni y= - x^2 + 8x - 8 e y= 1/4 x^2 - 2x + 3/4 inscrivi un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani di perimetro uguale a 24. 

Il testo fornisce questo suggerimento : considera la retta y= k che interseca la prima parabola in due punti A e B e poi considera i punti C e D della seconda parabola con la stessa ascissa di A e B.

Risposta : k= 7 oppure k = 191/25

Ringrazio, come sempre, chi vorrà aiutarmi.

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2

Ciao di nuovo. 
Appena ho tempo ti spedisco la risoluzione analitica. Intanto ti mando allegato grafico del problema.

image

Le soluzioni del problema sono 2.

Innanzitutto l'asse delle due parabole:

y = - x^2 + 8·x - 8      e      y = 1/4·x^2 - 2·x + 3/4

cioè: x = - b/(2·a) è unico ed ha equazione: x = 4

Le intersezioni fra le due parabole sono in 2 punti aventi quindi stessa ordinata:

[x = 1 ∧ y = -1, x = 7 ∧ y = -1]------> A(7,-1) e B(1,-1)

Quindi il problema  si può semplificare:

Scelgo un punto C appartenente alla 1^ parabola [x, - x^2 + 8·x - 8] con 4 < x < 7, quindi dico che la base del rettangolo debba valere:2·(x - 4) = base,

mentre l'altezza debba valere:

(- x^2 + 8·x - 8) - (1/4·x^2 - 2·x + 3/4) = - 5·(x^2 - 8·x + 7)/4

Quindi il perimetro:

2·(2·(x - 4)) + 2·(- 5·(x^2 - 8·x + 7)/4) = 24

semplificando l'espressione si ottiene un'equazione di 2° grado:

5·x^2 - 48·x + 115 = 0

che conduce a due risultati accettabili : x = 23/5 ∨ x = 5

Nella figura riportata sopra è presente la seconda soluzione.

I cui punti sono facilmente determinabili sfruttando la simmetria del problema:

C(5,7) ; C'(3,7); D(3,-3) ; E(5,-3)

Con WOLFRAMALPHA:

image

 

 



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Le parabole
* Γ1 ≡ y = - x^2 + 8*x - 8 ≡ y = 8 - (x - 4)^2
* Γ2 ≡ y = x^2/4 - 2*x + 3/4 ≡ y = ((x - 4)^2 - 13)/4
hanno lo stesso asse di simmetria
* x = 4
vertici
* V1(4, 8) e V2(4, - 13/4) distanti ΔV = 45/4
intersezioni
* P(1, - 1) e Q(7, - 1) distanti c = 6
---------------
Il complesso delle due curve è la quartica
* Γ ≡ (x^2 - 8*x - 4*y + 3)*(x^2 - 8*x + y + 8) = 0
------------------------------
Poiché Γ1 ha apertura a1 = - 1 e Γ2 ha apertura a2 = + 1/4, diverse fra loro, il suggerimento del testo mi sembra un po' scemo perché la retta y = - 1 dei punti comuni non è asse di simmetria della figura e quindi con le secanti orizzontali si devono fare più calcoli che con le secanti verticali; invece un asse di simmetria della figura c'è, x = 4, e con le secanti verticali
* x = 4 ± d
a distanza d (0 < d < 3 = c/2) dall'asse i calcoli si semplificano.
* y1(d) = 8 - (4 ± d - 4)^2 = 8 - d^2
* y2(d) = ((4 ± d - 4)^2 - 13)/4 = (d^2 - 13)/4
e il perimetro del rettangolo formato da queste secanti è
* p(d) = 2*(2*d + (8 - d^2 - (d^2 - 13)/4)) =
= - (5*d^2 - 8*d - 45)/2
------------------------------
Dal sistema
* (- (5*d^2 - 8*d - 45)/2 = 24) & (0 < d < 3) ≡
≡ (d = 3/5) oppure (d = 1)
si ricavano due soluzioni, con diverse dimensioni del rettangolo.
---------------
a) d = 3/5
Il complesso delle due secanti ha equazione
* (x - 23/5)*(x - 17/5) = 0
e i vertici del rettangolo si hanno da
* ((x - 23/5)*(x - 17/5) = 0) & ((x^2 - 8*x - 4*y + 3)*(x^2 - 8*x + y + 8) = 0) ≡
≡ vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28x-23%2F5%29*%28x-17%2F5%29%3D0%29%26%28%28x%5E2-8*x-4*y--3%29*%28x%5E2-8*x--y--8%29%3D0%29
---------------
a) d = 1
Il complesso delle due secanti ha equazione
* (x - 3)*(x - 5) = 0
e i vertici del rettangolo si hanno da
* ((x - 3)*(x - 5) = 0) & ((x^2 - 8*x - 4*y + 3)*(x^2 - 8*x + y + 8) = 0) ≡
≡ vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28x-3%29*%28x-5%29%3D0%29%26%28%28x%5E2-8*x-4*y--3%29*%28x%5E2-8*x--y--8%29%3D0%29



Risposta
SOS Matematica

4.6
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