[Risolto] rettangolo inscritto

@tiziano_moriconi

Ciao.

Inseriamo il triangolo rettangolo in modo opportuno in un sistema d'assi cartesiano ortogonale come in figura allegata.

L'equazione della retta su cui giace l'ipotenusa è:

y = 2·√5 - 2·x

Quindi il punto generico C giacente sull'ipotenusa ha coordinate:

[η, 2·√5 - 2·η]

La retta passante per esso e perpendicolare all'ipotenusa ha equazione (m =1/2):

y - (2·√5 - 2·η) = 1/2·(x - η)-------> y = x/2 - √5·(√5·η - 4)/2

che metto a sistema per determinare il punto D:

{y = x/2 - √5·(√5·η - 4)/2

{y = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 5·η - 4·√5 ∧ y = 0]

Con x: 0 < x < √5 e quindi: 0 < 5·η - 4·√5 < √5

ossia: 4·√5/5 < η < √5

Determino poi il punto F (con m=-2):

{y - 0 = - 2·(x - (5·η - 4·√5))------> y = 2·√5·(√5·η - 4) - 2·x

{x = 0

Risolvo ed ottengo:[x = 0 ∧ y = 10·η - 8·√5]

con: 0 < y < 2·√5-----> 0 < 10·η - 8·√5 < 2·√5

quindi riottengo: 4·√5/5 < η < √5

Considero quindi i punti:

C[η, 2·√5 - 2·η]

F[0, 10·η - 8·√5]

CF=2----> √((0 - η)^2 + (10·η - 8·√5 - (2·√5 - 2·η))^2) = 2

√(145·η^2 - 240·√5·η + 500) = 2 elevo al quadrato:

5·(29·η^2 - 48·√5·η + 100) = 4

risolvo:

η = 124·√5/145 ∨ η = 4·√5/5

escludo la seconda

Considero:

C[η, 2·√5 - 2·η] e D [5·η - 4·√5, 0]

quindi:

C[124·√5/145, 42·√5/145] e D [8·√5/29, 0]

CD=√((124·√5/145 - 8·√5/29)^2 + (42·√5/145 - 0)^2) = 42/29 dm (circa 1.448 dm)

analogamente considero:

D[8·√5/29, 0]

F[0, 16·√5/29]

DF=√((8·√5/29 - 0)^2 + (0 - 16·√5/29)^2) = 40/29 dm (circa 1.379 dm)

DF è l'ipotenusa del triangolo rettangolo DFG, simile ad ABC;

DG è un cateto del triangolo DFG

BC : DF = AC : DG;

5 : 2 = radice(5) : DG;

DG = 2 * radice(5) / 5 = radice(4 * 5/25) = radice(4/5);

DG = 2 * radice(1/5); un lato del rettangolo inscritto,

FG = radicequadrata(DF^2 - DG^2);

FG = radice(2^2 - 4 * 1/5) = radice[4  - 4/5];

FG = radice(20/5 - 4/5) = radice(16/5);

FG = 4 * radice(1/5); l'altro lato del rettangolo.

Ciao @tiziano_moriconi

Non è svolto correttamente, mi dispiace. Guarda la risposta di @lucianop 

ciao.

Nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico in decimetri, definisco
* A(0, 0), B(5, 0)
e calcolo
* (x^2 + y^2 = (2*√5)^2) & ((x - 5)^2 + y^2 = (√5)^2) & (y > 0) ≡ C(4, 2) vertice dell'angolo retto
* AC ≡ y = x/2
* BC ≡ y = 2*(5 - x)
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Le richieste lunghezze delle dimensioni del rettangolo HKPQ inscritto in ABC siano
* base b = |HK| = |PQ|
* altezza h = |KP| = |QH|
dove, con (0 < u < 4) & (4 - u < b < 5 - u), si definiscono
* H(u, 0), K(u + b, 0)
* da AC ≡ y = x/2 si ha Q(u, u/2)
* da BC ≡ y = 2*(5 - x) si ha P(u + b, 2*(5 - (u + b)))
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Per fare rettangolo P e Q devono avere ordinate eguali
* u/2 = 2*(5 - (u + b)) ≡ u = 4*(5 - b)/5
da cui
* H(4*(5 - b)/5, 0), K(b/5 + 4, 0), P(b/5 + 4, 2 - 2*b/5), Q(4*(5 - b)/5, 4*(5 - b)/10)
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Dalla condizione sulla diagonale, d = 2, cioè
* |HP| = |KQ| = d = √(29*b^2 - 40*b + 100)/5 = 2
si ha
* (b = 0) oppure (b = 40/29) ≡ b = 40/29
da cui
* u = 84/29
* h = u/2 = 42/29
* H(84/29, 0), K(126/29, 0), P(126/29, 38/29), Q(84/29, 42/29)
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ATTENZIONE: m'è sfuggito un errore a mia insaputa
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%280%2C0%29%285%2C0%29%284%2C2%29%280%2C0%29%28126%2F29%2C0%29%28126%2F29%2C38%2F29%29%2884%2F29%2C42%2F29%29%2884%2F29%2C0%29
vedi un po' tu.